Coördinatentransformatie

Rechte lijn

Van de verschillende soorten verbanden die je bij natuurkunde tegenkomt is een recht evenredig verband het meest eenvoudige. Bij een recht evenredig verband tussen twee grootheden x en y geldt

y = constante·x

Een recht evenredig verband kun je makkelijk aan de grafiek herkennen: De grafiek van x tegen y is namelijk een rechte lijn door de oorsprong. Als je eenmaal weet dat het om een recht evenredig verband gaat is het bepalen van de evenredigheidsconstante niet zo moeilijk meer: Trek door een rechte lijn door de oorsprong die zo goed mogelijk bij de meetpunten past. De constante is gelijk aan het hellingsgetal van deze lijn. Maar wat doe je nou als de grafiek géén rechte lijn door de oorsprong is? Hiervoor gebruik je een coördinatentransformatie.

Stap 1

Het eerste wat je moet doen is bedenken wat voor soort verband het dan wél kan zijn. Dit kan op twee manieren:

• Aan de hand van de formule (als je die weet)
• Aan de hand van de vorm van de grafiek

Als je een vermoeden hebt om wat voor soort verband het zou kunnen ga je naar stap 2.

Stap 2

Het volgende wat je doet bij een coöordinatentransformatie is dat je op de horizontale as een andere grootheid zet zódanig dat er een recht evenredig verband ontstaat. Hieronder staat voor de belangrijkste verbanden welke grootheid je op de x-as moet zetten om er een recht evenredig verband van te maken.

	Normaal horizontale as	Coördinatentransformatie horizontale as
Kwadratisch	x	x2
Omgekeerd evenredig	x	1/x of x-1
Omgekeerd kwadratisch	x	1/x2 of x-2
Wortelverband	x	√ x

Stap 3

Laatste stap is dat je de meetpunten in de grafiek zet met de aangepaste horizontale as. Als het verband inderdaad het verband is wat je bij stap 1 dacht vormen de meetpunten nu een rechte lijn door nul. De evenredigheidsconstante kun je bepalen door een rechte lijn door de punten te tekenen en de helling van deze lijn te bepalen.

Voorbeeld 1: De slinger

Van slingers van verschillende lengtes (L) hebben we de slingertijd (T) gemeten en met Excel in een grafiek gezet. (Zie grafieken in Excel als je wil weten hoe je dit ook al weer doet). Aan de vorm van de grafiek (zie hieronder) zie je dat dit waarschijnlijk een wortelverband is.



In BINAS vinden we (tabel 35-B1: Mathematische Slinger):

T = 2π·√L/g

Als we dit omschrijven zodat we makkelijker het verband kunnen herkennen wordt dit

T = 2π·√ 1/g · √ L

Aangezien g constant is (de zwaartekrachtsversnelling) en π ook constant is staat hier

T = constante · √ L

Tussen T en L bestaat dus een wortelverband met als constante 2π·√ 1/g . We gaan nu de coördinatentransformatie toepassen: In de tabel hierboven kun je zien dat je bij een wortelverband op de horizontale as niet de lengte (L) maar de wortel van de lengte (√ L ) moet zetten. Als eerste maken we in Excel een nieuwe kolom waarin we √ L berekenen (zie hieronder in het blauw). Vervolgens maken we in Excel een nieuwe grafiek waarbij we ervoor zorgen dat we de x-waarden uit de net uitgerekende kolom halen.



We zien dat de punten netjes op een rechte lijn door de oorsprong lijken te liggen. Door het tekenen van een trendlijn kunnen we dit controleren. Hieronder zien we dat dit klopt: De meetpunten liggen vrijwel allemaal keurig op de trendlijn. Als we de de vergelijking van de trendlijn laten weergeven in de grafiek kunnen we direct de constante aflezen. We vinden 2,0147 als constante. Dit klopt want

2π·√ 1/g = 2π·√ 1/9,81 = 2,0

Voorbeeld 2: Lichtintensiteit

Van een constante lichtbron met vermogen P_bron hebben we op verschillende afstanden (r) de intensiteit gemeten (I) gemeten en met Excel in een grafiek gezet. Aan de vorm van de grafiek (zie hieronder) zie je dat dit waarschijnlijk een omgekeerd evenredig verband óf een omgekeerd kwadratisch verband is.



In BINAS vinden we (tabel 35-B2: Kwadratenwet):

I = P_bron / 4π·r²

Als we dit omschrijven zodat we makkelijker het verband kunnen herkennen wordt dit

I = P_bron/4π · 1/r²

Aangezien we steeds dezelfde (constante) bron hebben gebruikt staat hier

I = constante · 1/r²

Tussen I en r bestaat dus een omgekeerd kwadratisch verband met als constante P_bron/4π. We gaan nu de coördinatentransformatie toepassen: Bij een omgekeerd kwadratisch verband betekent dit dat we nu op de horizontale as niet de afstand (r) maar één gedeeld door de afstand in het kwadraat zetten (1/r²) (zie tabel hierboven). Als eerste maken we in Excel een nieuwe kolom waarin we 1/r² berekenen (zie hieronder in het blauw). Vervolgens maken we in Excel een nieuwe grafiek waarbij we ervoor zorgen dat we de x-waarden uit de net uitgerekende kolom halen.



We zien dat de punten netjes op een rechte lijn door de oorsprong lijken te liggen. Door het tekenen van een trendlijn kunnen we dit controleren. Hieronder zien we dat dit klopt. Als we de de vergelijking laten weergeven in de grafiek kunnen we direct de constante aflezen. We vinden 0,0162 als constante. Met constante = P_bron/4π kunnen we vervolgens uitrekenen dat P_bron=0,20 W is.

Meer weten?

Bij de oefenopgaven in het hoofdstuk AlgemeenVWO kun je opgaven vinden over verbanden. Opgave 28 gaat over de coördinatentransformatie. Uitwerkingen van alle opgaven kun je ook op de website vinden en als je er niet uitkomt kun je vragen stellen. Wil je bovenstaande voorbeelden zelf in Excel bekijken? Download het Excelbestand hier: coordinatentransformatie.xls

Er bestaan verschillende versies van Excel. Hou er rekening mee dat Excel er bij jou misschien net iets anders uitziet. Soms kunnen knoppen en opties op een andere plaats zitten of in een ander menu staan.

Examenopgaven

Recente examenopgaven waarin coordinatentransformatie een rol speelt (havo/vwo):
Onderzoek naar geluid in een fles (v), Cirkelgolf (v), Boomwhackers (v),