Inloggen

Alfa-verval
VWO 2016, quantum, opgave 8


Download hierboven de originele pdf van het examen waar deze opgave in staat en de bijbehorende uitwerkbijlage. "Alfa-verval" is de 8e opgave in dit examen. Als je de opgave gemaakt hebt kun je jezelf nakijken met het correctievoorschrift. Hier vind je de goede antwoorden en de puntentelling.

Kom je er zelf niet uit? Dan kun je hieronder je vraag stellen.

Uitleg bij "Alfa-verval"

Probeer altijd eerst zelf de opgave te maken en gebruik de uitleg alleen als je er zelf niet uitkomt. Als je ook na deze uitleg nog vragen hebt dan kun je deze helemaal onderaan deze pagina stellen.

Vraag 44

Als je 23290Th opzoekt in BINAS tabel 25 vind je dat de energie van het vrijkomende α-deeltje gelijk is aan 3,98 MeV (laatste kolom). Omgerekend (zie BINAS tabel 5) is dit een energie van

3,98·106 · 1,6022·10-19 = 6,3768·10-13 J

Wanneer je aanneemt dat deze energie in zijn geheel kinetische energie is kun je de snelheid uitrekenen m.b.v. de formule voor kinetische energie (Ek = ½·m·v2, zie BINAS tabel 35-A4). Hieruit volgt

v = √ Ek / ½m

De massa van een α-deeltje is de massa van een helium-4 kern en gelijk aan 4,002603 u (zie BINAS tabel 35). Omgerekend in kilogram is dit gelijk aan (u staat in BINAS tabel 7)

4,002603 · 1,66054·10-27 = 6,6465·10-27 kg

Invullen van de energie en de massa geeft dan een snelheid van

v = √6,3768·10-13 / ½·6,6465·10-27

v = 1,3852·107 ms-1

Gevraagd wordt de snelheid als percentage van de lichtsnelheid (2,9979·108 zie BINAS tabel 7). Dit is gelijk aan

1,3852·107 / 2,9979·108 = 0,04621

Afgerond is dit 4,62 % van de lichtsnelheid.

Vraag 45

Voor de dichtheid van een voorwerp geldt ρ = m/V (zie BINAS tabel 35-C1). Voor de dichtheid van een atoomkern moet je dus de massa (m) en het volume (V) weten. Voor de massa van een kern geldt (als je er even vanuit gaat dat protonen en neutronen allemaal een massa van 1 u hebben)

mkern = A·u

(A is het massagetal van de atoomkern). Voor het volume gaan we er even van uit dat de kern een bol is. Het volume van een bol is (zie BINAS tabel 36-B) V = (4/3);·πr3. Als we hier voor de straal (r) de in de opgave gegeven formule voor de straal van de kern invullen (R) krijgen we als volume van de kern

Vkern = (4/3) · π · (R0·A)3

V = (4/3) · π · R03 · A

Als we met mkern en Vkern de dichtheid van de kern berekenen vinden we

ρkern = A·u / (4/3)·π·R03·A

ρkern = u / (4/3)·π·R03

De dichtheid van de kern is dus constant en niet afhankelijk van het massagetal van de kern (R0 en u zijn constant).

Vraag 46

  • Voor het aantal keer per seconde dat een deeltje de wand raakt gaan we er even vanuit dat het deeltje met constante snelheid heen en weer beweegt tussen twee tegenover elkaar liggende wanden van de atoomkern (zie linker afbeelding hieronder). Voor een eenparige beweging geldt v = s/t. Hieruit volgt voor de tijd t = s/v. De s in deze formule is de afstand tussen de wanden. Dit is twee keer de straal van de atoomkern. Voor de tijd tussen de botsingen geldt dus

    t = 2R/v

    In één seconde vinden dus 1 / (2R/v) botsingen plaats en het aantal deeltjes dat per seconde de wand raakt is dus

    vα / 2R
  • De activiteit van een hoeveelheid radioactieve kernen is het aantal deeltjes wat per seconde vervalt. Hiervoor geldt (zie BINAS tabel 35-E3)

    A = N · ln2 / t½

    Als je, zoals hier, maar naar één kern kijkt (N=1) is het aantal keer dat een deeltje aan de kern ontsnapt per seconde gelijk aan

    ln2 / t½

  • De ontsnappingskans K is het aantal deeltjes dat per seconde ontsnapt gedeeld door het aantal deeltjes dat per seconde de wand raakt. Wanneer we de twee hierboven afgeleide formules hier invullen vinden we

    K = (ln2 / t½) / ( vα / 2R)

    K = (ln2 / t½) · (2R / vα)

Vraag 47

We berekenen K met de in de vorige vraag afgeleide formule en de gegevens voor 212Po uit BINAS. We vullen in

t½ = 3·10-7 s (zie BINAS tabel 25 bij 212Po)
R = 1,2·10-15 · 207,97663 u (massa dochterkern 208Pb)
vα = 0,069 · 2,9979·108 = 2,06855·108 ms-1

Invullen geeft

K = 1,58824·10-15

Afgerond op één cijfer (vanwege de halveringstijd) is dit een ontsnappingskans van 2,0·10-15.

Vraag 48

De kans dat een α-deeltje via het tunneleffect uit de kern kan ontsnappen is afhankelijk van
  1. De hoogte van de energiebarriere
  2. De breedte van de energiebarriere
  3. De energie van het deeltje zelf
De eerste twee factoren zijn in beide situaties hetzelfde maar de energie van het deeltje in de linker kern is twee keer zo hoog als de energie van het deeltje in de rechter kern. E(1) = 2 · E(2). Als de tunnelkans rechtevenredig zou zijn met de energie van het deeltje zou ook de tunnelkans (K) in de linker situatie twee keer zo groot zijn als de situtie rechts en zou ook de halveringstijd (t½) links twee keer zo klein moeten zijn als de halveringstijd rechts. In figuur 1 kun je aflezen dat de halveringstijd inderdaad daalt als de energie van het deeltje toeneemt maar véél sneller dan dit:

bij E = 4 MeV geldt t½ ≈ 1017 s
bij E = 6 MeV geldt t½ ≈ 105 s

Een factor 1,5 hogere energie leidt dus tot een meer dan 1000000000 (!) keer kleinere halveringstijd (1012) . De tunnelkans K zal bij E(1) dus véél groter zijn dan bij E(2). Uitspraak a is waar.

Vraag 49

De Brogliegolflengte van een vrij deeltje kun je berekenen met de formule λB = h/p

De p in deze formule is de impuls (p = m·v) dus

λB = h/ (m·v)

Voor het berekenen van λB moeten we dus eerst de massa en de snelheid van het α-deeltje bepalen. De massa van een α-deeltje hebben we eerder bepaald in deze opgave (zie boven): 6,6465·10-27 kg. In BINAS tabel 25 vind je dat het α-deeltje dat vrijkomt bij het verval van 21284Po een energie heeft van 8,776 MeV. Omgerekend in Joule (zie BINAS tabel 5) is dit

8,776·106 · 1,6022·10-19 = 1,4061·10-12 J

Wanneer je er weer van uit gaat dat deze energie in zijn geheel kinetische energie is kun je de snelheid uitrekenen zoals bij de eerste vraag. Uit Ek = ½·m·v2 volgt

v = √ Ek / ½m

>Invullen van de energie en de massa geeft dan een snelheid van

v = √1,4061·10-12 / ½·6,6465·10-27

v = 2,0570·107 ms-1

De constante van Planck (h) vind je in BINAS tabel 7. Invullen in de formule voor de Brogliegolflengte geeft

λB = 6,6261·10-34 / (6,6465·10-27 · 2,0570·107)

λB = 4,8465·10-15 m

Afgerond op vier cijfers is dit 4,847·10-15 m.

Vraag 50

De tunnelkans hangt niet alleen af van de energie van het deeltje maar óók van de hoogte én de breedte van de energieput. In vraag 48 hebben we gezien dat het verschil in energie tussen E(1) en E(2) in figuur 2 lang niet groot genoeg was om het extreem grote verschil in halveringstijd te verklaren. Maar bij een energie-barriere met de vorm zoals in figuur 4 neemt bij een hogere energie óók de breedte van de barriere af. Zie rechterfiguur hieronder: het blauwe energieniveau 'ziet' een minder brede barriere. De tunnelkans neemt hierdoor bij hogere energie dan dus niet alleen toe door de hogere energie maar ook door de minder brede barriere. Dit verklaart de extreme afname van de halveringstijd bij hogere energie zoals te zien in figuur 1 beter dan het model met een rechthoekige barriere.


alfavervalnina-1

Vraag over "Alfa-verval"?


    Hou mijn naam verborgen

Eerder gestelde vragen | Alfa-verval

Op maandag 25 mrt 2019 om 21:01 is de volgende vraag gesteld
Ik heb een vraag over 45:
Ik begrijp niet waarom dit geldt: mkern = A·u.
En hoe deze overstap wordt gemaakt:

V = (4/3) · π · R03 · A

Als we met mkern en Vkern de dichtheid van de kern berekenen vinden we

ρkern = A·u / (4/3)·π·R03·A.

Alvast bedankt.

Erik van Munster reageerde op dinsdag 26 mrt 2019 om 09:40
A is hier het massagetal. Dit is het aantal deeltjes dat in de kern voorkomt (protonen+neutronen). De massa van één kerndeeltje is u. (Dit heet ook wel de 'atomaire massaeenheid' en kun je vinden in BINAS tabel 7). Als je de massa van een kern wil weten is dit het aantal deeltjes keer de massa van één deeltje. Vandaar:

mkern = A*u

Over de afleiding:

ρkern = mkern / Vkern

(dit is de formule voor de dichtheid). Daarna vul je in deze formule mkern in (zie hierboven) en Vkern zie afleiding in de uitwerking. Je komt dan vanzelf op de gegeven formule.


Op dinsdag 19 feb 2019 om 21:02 is de volgende vraag gesteld
De uitwerking van vraag 50 is verkeerd. De uitwerking die er staat geeft namelijk antwoord op vraag 49.

Erik van Munster reageerde op dinsdag 19 feb 2019 om 21:50
Klopt, hier stond per ongeluk de uitwerking van 49 herhaald. Heb het net verbeterd en het staat er nu goed.


Op donderdag 24 mei 2018 om 10:29 is de volgende vraag gesteld
In de uitwerking van opdacht 45 staat een foutje: namelijk "...(zie BINAS tabel 36-B) V = ¾·πr3..." V bol=4/3*pi*r^3 in de uitwerking staat echter V bol=3/4*pi*r^3. De breuk moet namelijk omgedraaid worden.

Erik van Munster reageerde op donderdag 24 mei 2018 om 11:59
Klopt, ik ga het aanpassen. Maakt voor het antwoord voor de vraag hier niet uit gelukkig.


Op woensdag 28 mrt 2018 om 09:12 is de volgende vraag gesteld
Hoe weet je bij de eerste vraag 44. Dat je de energie van het verval van Th moet pakken, dit staat toch nergens ind e vraag?

Erik van Munster reageerde op woensdag 28 mrt 2018 om 10:29
Dit staat inderdaad niet duidelijk in de vraag. Als je het in plaats van Th voor Po had uitgerekend was het ook goed gerekend (mits je het op de goede manier doet uiteraard).


Op dinsdag 27 mrt 2018 om 23:10 is de volgende vraag gesteld
Bij vraag 48. En figuur 1 en 2. Het is mij niet helemaal duidelijk wat de hoogte van streepje voor E(1) en E(2) precies inhoudt. Betekent dit een grotere hoogte van de kinetische energie van het deeltje. of betekent dit een grotere kinetische energie van het deeltje?

Op dinsdag 27 mrt 2018 om 23:13 is de volgende reactie gegeven
Vraag 2. Ik dacht zelfs dat de energiëen gelijk worden omdat er in de vraag wordt gezegd dat dee energieën een factor 2 verschillen met het nulniveau. Wat wordt hiermee bedoeld?

Op dinsdag 27 mrt 2018 om 23:16 is de volgende reactie gegeven
Ze hebben het vaak over een deeltje met een "hogere energie" en vaak bedoelen ze ook grotere energie het is heel verwarrend wat er precies mee wordt bedoeld. Is een hogere energie automatisch ook een grotere energie, hoe zit dat? En zelfs als ze zeggen dat ze een factor 2 verschillen met het nulniveau of wat dat ook mogen inhouden

Erik van Munster reageerde op woensdag 28 mrt 2018 om 10:25
Het diagram geeft de energie weer van de barriere en de horizontale lijnen E(1) en E(2) stellen de grootte van de kinetische energie van het deeltje voor.

Een factor twee wil zeggen dat als de ene een energie heeft van 3 eV t.o.v. het nulniveau dat de ander een energie heeft van 6 eV t.o.v. het nulniveau. In het diagram betekent dit dat het ene lijntje precies twee keer zo hoog loopt als het andere streepje.

Over je laatste vraag: Hoge energie betekent inderdaad grote energie.

Op woensdag 28 mrt 2018 om 11:07 is de volgende reactie gegeven
Betekent dit dus dat E(1) niet perse hoger hoeft te liggen dan E(2) het deeltje?
Want ik dacht dat de energie barrière van 3 dingen afhing:
de breedte van de wanden
de hoogte van de wanden
en de Energie van het deeltje. Maar een hogere energie gaat dus altijd gepaard met een grotere energie of is een hogere energie vanzichzelf een andere factor. Dus dat de energiebarrière ook nog afhangt van de hoogte van de energie van het deeltje?

Erik van Munster reageerde op woensdag 28 mrt 2018 om 15:34
Het is niet de energiebarriere die van deze 3 dingen afhangt maar de tunnelkans. De tunnelkans hangt af van

De breedte van de wanden van de barriere
De hoogte van de wanden van de barriere
De energie van het deeltje.

De hoogte van de energiebarriere ligt hier vast (de dikkere lijnen in figuur 2). De energie van het deeltje (de dunnere horizontalen lijnen) verschilt tussen E(1) en E(2). E(1) is veel hoger en ligt bijna bij de rand van de barriere vandaar dat de tunnelkans hier veel groter is.

Op woensdag 28 mrt 2018 om 16:06 is de volgende reactie gegeven
Oké dank voor de opheldering . Is een hogere energie van een deeltje ook altijd een grotere energie van het deeltje? en waar hangt dan de énergiebarrière wel vanaf? Want ik zie vaak in vragen terugkomen dat hij is gedaald wat bedoelen ze daarmee. (ik heb morgen een examen, laatste voor CE, vandaar de vele vragen, excuses voor het ongemak)

Erik van Munster reageerde op woensdag 28 mrt 2018 om 16:11
Ja, met hogere en grotere energie wordt hetzelfde bedoeld: Méér joule of eV.

De energiebarriere hangt af van de krachten die in het atoom werken waar (in dit geval) de alfadeeltjes in zitten opgesloten zitten.