Cessna
vwo 2017, 1e tijdvak, opgave 2

Vraag 4

In figuur 2 kunnen we zien dat hoek α bepaald wordt door de verhouding tussen de krachten F_lift en F_w,lucht. Als de Cessna horizontaal vliegt geldt dat de liftkracht gelijk is aan de zwaartekracht op het vliegtuig. Er geldt dus

F_lift = F_Z = 9,81 · 710 kg = 6965,1 N

F_w,lucht kunnen we bepalen aan de hand van het vermogen van de motor. In de vraag staat dat het geleverde vermogen 70% van het topvermogen (100 pk) is. In BINAS tabel 5 vinden we de omrekenfactor van paardekracht naar Watt. Omrekenen geeft een vermogen van

P = 70% · 7,457·10² · 100 = 52199 W

Voor bewegend voorwerp met een constante snelheid geldt voor het vermogen dat nodig voor de beweging (zie BINAS tabel 35-A4)

P = F·v

Voor de kracht volgt hieruit

F = P/v = 52199 / 55 = 949,073 N

Dit is de kracht die de motor levert. Omdat alle krachten in evenwicht zijn weten we dat ook de luchtwrijving F_w,lucht gelijk is aan 949,073 N.

In figuur 2 zien we dat vanuit hoek α F_w,lucht de overstaande zijde is en F_lift de aanliggende zijde. Er geldt dus

tan α = F_w,lucht / F_lift

Voor α vinden we dan

α = tan^-1 (949,073/6965,1) = 7,759°

Afgerond is dit 7,8°.

Vraag 5

De in de vraag gegeven formule luidt

F_lift = ½·ρ·A_vleugel·C_lift·v²

Omschrijven geeft

C_lift = F_lift / (½·ρ·A_vleugel·C_lift·v²)

Wanneer we hier voor alle grootheden de bijbehorende eenheid invullen wordt dit

eenheid C_lift = [kg m s^-2] / ([kg m^-3][m²][m s^-1]²)

eenheid C_lift = (kg m s^-2) / (kg m^-3 m²] m² s^-2)

eenheid C_lift = kg m s^-2 / kg m s^-2

De eenheden boven en onder vallen tegen elkaar weg. De liftcoëfficiënt is dus eenheidsloos.

Vraag 6

We gebruiken hiervoor de hierboven afgeleide formule voor C_lift. De waarden die we hierin invullen zijn

Flift = 6965,1 N (zie eerste vraag)
ρ = 1,293 kg m^-3 (dichtheid lucht uit BINAS tabel 12)
A_vleugel = nog niet bekend
v = 55 ms^-1 (gegeven in vraag)

Het vleugeloppervlak van de Cessna kunnen we bepalen met de afbeelding op de bijlage (zie hieronder). De getekende hokjes zijn 1 cm² op de originele uitwerkbijlage. Met de in de vraag in tabel 1 gegeven spanwijdte (10,7 m) kunnen we de schaal van de tekening bepalen en het gemeten oppervlak omrekenen naar de daadwerkelijke oppervlak. We komen dan uit op een totaal oppervlak van beide vleugels van 13,6 m². Invullen geeft

C_lift = 6965,1 / (½ · 1,293 · 13,6 · (55,0)²) = 0,26188

Afgerond is dit 0,26.

Vraag 7

Zie bijlage hieronder. De liftkracht kun je ontbinden in een verticale en een horizontale component. De verticale component is net iets kleiner dan de zwaartekracht dus zal er een netto kracht naar beneden zijn. Het vliegtuig daalt dus. De horizontale component zorgt voor een kracht naar rechts die ervoor zorgt dat de Cessna naar rechts beweegt. Deze kracht werkt als Fmpz voor de bocht die het vliegtuig maakt.

Vraag 8

Voor de kinetische energie kennen we de formule

E_k = ½m v²

In dit model wordt de kinetische energie juist gebruikt voor het berekenen van de snelheid in de daarop volgende regel. We moeten dus een andere manier bedenken om de kinetische energie te bepalen. Dit kan door uit te gaan van de door de motor verrichte arbeid. Deze arbeid is nodig voor

1. Het in stand houden van de snelheid op dat moment. Hiervoor geldt P=F·v
2. Het vergroten van de snelheid

In de regel hiervoor wordt uitgerekend hoe groot de arbeid is die gaat zitten in het vergroten van de snelheid (Pnetto). Met E=P·t kunnen we de energie bepalen die er gaat zitten in het vergroten van de snelheid. We moeten er dus de kinetische energie op dat moment gebruiken en hier deze energie aan toevoegen. De modelregel moet dus worden

Ek = Ek + Pnetto*dt

Vraag 9

De liftkracht en de luchtwrijvingskracht hangen beide af van de snelheid van de Cessna ten opzichte van de omringende lucht. De variabele v is in dit model de snelheid van het vliegtuig ten opzichte van de grond. De snelheid ten opzichte van de lucht is, rekeninghoudend met het feit dat de lucht zelf ook beweegt, gelijk aan (v - vwind).

In dit model neemt v vanaf het begin (v=0) steeds toe en is dus steeds positef. De windsnelheid vwind is ook positief (+5) en heeft dus dezelfde richting als het vliegtuig. Er is dus sprake van meewind.

Vraag 10

In grafiek van het vliegtuig zónder tegenwind hieronder is te zien dat de grafiek net iets vóór t =20 s stopt als het vliegtuig een snelheid heeft van 35 ms^-1. In de modelregels is te zien dat dit samenvalt met het moment dat Flift > Fz. Het vliegtuig stijgt dus op op het moment dat het ten opzichte van de lucht een snelheid heeft van 35 m^-1. Als er een tegenwind is van 10 ms^-1 heeft het vliegtuig dus maar een snelheid van 25 ms^-1 ten opzichte van de grond nodig om op te stijgen. In figuur 6 op het vragenblad is te zien dat het model B stop rond t = 5,4 s. Dit is dus kennelijk het moment dat het vliegtuig een snelheid van 25 ms^-1 bereikt. Aan figuur 6 is te zien dat grafiek B lijkt op grafiek A, alleen stijgt de grafiek na t = 2 s ietsje minder hard. Het grote verschil met grafiek A is dat grafiek B stop bij t = 5,4 s bij een snelheid van 25 ms^-1.













Zelf modelberekeningen doen met de modellen uit deze opgaven?
Kijk op natuurkundeuitgelegd.nl/modelleren

Vraag over "Cessna"?

Typ hier je vraag

Stel je vraag     Hou mijn naam verborgen voor andere bezoekers