Vraag 6
Als we de derde wet van Kepler omschrijven vindenr3 = G·M·T2 / 4π2
De massa (M) is de zonsmassa (Binas tabel 32C):
M = 1,9884·1030 · 0,67 = 1,33228·1030 kg
Voor de omlooptijd omrekend naar seconden vinden we
T = 36·24·60·60 = 3,1104·106 s. Invullen van
G = 6,67384·10-11 (Binas tabel 7)
M =1,33228·1030 kg
T = 3,1104·106 s
geeft
r3 =2,1789·1031 m3
r = 2,7931·1010 m
Afgerond is dit inderdaad 2,8·1010 m.
Vraag 7
Als we aannemen dat de verdeling van de intensiteit over het hele frontale oppervlak homogeen is, is de gemeten intensiteit is evenredig met het oppervlak dat de straling uitzendt. In figuur 2 is te zien dat de relatieve intensiteit als de planeet vóór de ster staat daalt van 1,0000 naar 0,9986. Dit is een daling van1,0000 - 0,9986 = 0,0014
Dit betekent dat ook de planeet 0,0014ste van het oppervlak van de ster bedekt en dat het planeetoppervlak 0,0014ste deel van het steroppervlak is. Omdat voor het oppervlak geldt dat A=πR2 betekent dit dat verhoudingen van de stralen de wortel is van deze verhouding en dus gelijk is aan
√0,0014 = 0,0374165ste deel van het steroppervlak
Afgerond is dit een verhouding van 1 : 0,0374.
Vraag 8
Het door de planeet opgevangen vermogen is de intensiteit van het sterlicht (I) keer het frontale oppervlak van de planeet (A). Er geldt dus P = I·A. Voor intensiteit van het sterlicht op een afstand r geldt de kwadratenwet:I = Pster / 4πr2
In figuur 4 is te zien dat het frontale oppervlak dat de straling opvangt gelijk is aan het oppervlak van een cirkel met een straal gelijk aan de straal van de planeet (R). Voor het frontale oppervlak vinden we dan
A = πR2
Als we de formules combineren vinden we
Popgevangen =( Pster / 4πr2) · πR2
Popgevangen = Pster· πR2 / 4πr2
Popgevangen = Pster· R2 / 4r2
Van deze straling wordt een factor α (het albedo) direct gereflecteerd en niet geabsorbeerd. Dit is gelijk aan α·Popgevangen. Als we deze straling van het opgevangen vermogen aftrekken houden we het geabsorbeerde vermogen over:
Pabs = Popgevangen - α·Popgevangen
Pabs = Popgevangen · (1-α)
Pabs = [Pster· R2 / 4r2] · (1-α)
Vraag 9
- Als we aannemen dat de temperatuur over het hele planeet oppervlak constant is geldt voor het door de planeet uitgezonden vermogen de wet van Stefan-Boltzmann:
Puit = σ·A·T4
Als we voor het planeetoppervlak (A) het oppervlak van een bol (4πR2) invullen vinden we
Puit = σ·4π·R2·T4
Als we dit combineren met formule 2 en 3 uit de opgave vinden we
Pabs = Puit
[Pster· R2 / 4r2] · (1-α) = σ·4π·R2·T4
Als we dit omschrijven vinden we
r2 = σ·4π·R2 / [Pster· R2 / 4r2] · (1-α)]
r2 = Pster · (1-α) / [σ · 16π · T4]
In deze vergelijking zijn Pster, α, σ en π constant en kunnen we dus schrijven
r2 = constante / T4
r2 = constante · T-4
r = √constante · T-2
De β in de opgave is dus inderdaad gelijk aan -2. - De buitengrens van het goudlokje-gebied ligt verder van de ster en daarvoor geldt dus T = 273 K (0°C de lagere van de twee temperatuurgrenzen). Voor de binnengrens geldt dan dus T = 373 K (100°C). Aan de formule zien we dat de afstand omgekeerd kwadratisch afhangt van de temperatuur. Om de temperatuur te laten toenemen met een factor 373/273 = 1,3663 moet de afstand r dus kleiner worden met een factor 1,36632 = 1,8668. De buitengrens lag op 5,8·1010 m. Voor de binnengrens vinden we dan
r = 5,8·1010 / 1,8668 = 3,1069·1010 m
De planeet staat op een afstand van 2,8·1010 m van de ster en dit is dichterbij dan de binnengrens van het goudlokje-gebied. Op de planeet is het dus te heet voor vloeibaar water.