Vraag 23
Uit het Hertzsprung-Russeldiagram op de bijlage lezen we af dat log (P/Pzon) = 4,5. Dit betekent voor de lichtkracht:P/Pzon = 104,5 = 31622
In de opgave staat het verband tussen lichtkracht en massa gegeven:
P/Pzon = (M/Mzon) 3,8
Als we beide kanten tot de macht 1/3,8 doen vinden we
(P/Pzon)1/3,8 = M/Mzon
Invullen van P/Pzon = 31622 geeft voor de massa
M/Mzon = 316221/3,8 = 15,283
De ster is dus afgerond 15 keer zo zwaar als de zon en zal dus eindigen als zwart gat.
Vraag 24
Voor een voorwerp op het oppervlak van de ster geldt voor de gravitatie-energieEg = -G·M·m/r
Op grootte afstand van de ster (r→∞) is de gravitatie-energie van het voorwerp 0 J. Om hier te komen is de moet een hoeveelheid energie geleverd worden van G·M·m/r. Als er tijdens het ontsnappen geen andere kracht geleverd wordt komt deze energie volledig uit de kinetische energie die het voorwerp heeft bij vertrek. Voor de minimale kinetische energie die hiervoor nodig is geldt dan dus
Ek = G·M·m/r
Voor de ontsnappingssnelheid (de minimaal nodige snelheid) volgt hieruit
½·m·v2 = G·M·m/r
½·v2 = G·M/r
v2 = 2·G·M/r
v = √2·G·M/r
Vraag 25
Omschrijven van de formule uit de vorige vraag geeftr = 2·G·M / v2
De massa is 20 keer de zonsmassa (1,9984·1030 kg, Binas tabel 32C)
Invullen van
G = 6,67382·10-11 (Binas tabel 7)
M = 3,9768·1031 kg
v = 2,9979·108 (lichtsnelheid, Binas tabel 7)
geeft
r = 29530 m
De diameter is twee keer de straal . Het zwarte gat heeft dus afgerond een diameter van 59 km.
Vraag 26
De massa van een zwart gat is minimaal 15 zonsmassa's.M > 15 ·1,9884·1030 = 2,9826·1031 kg
Wanneer we dit invullen in de formule uit de opgave vinden we
T = 1,227·1023 / 2,9826·1031 = 4,1139·10-9 K
Dit is een extreem lage temperatuur en bij grotere massa's is de temparatuur nóg lager. Uit de wet van Wien volgt dan voor de golflengte waarbij de meeste straling wordt uitgezonden
λmax = kW/T
λmax =2,89777·10-3 / 4,1139·10-9 = 704385 m
Dit is een golflengte van meer dan 700 km (!) (en nog groter voor zwaardere zwarte gaten). Dit is radiostraling met een extreem lange golflengte waarvoor antennes (radiotelescopen) nodig zouden zijn met een diameter in dezelfde orde van grootte. Praktisch onmogelijk om te detecteren dus. (De straling die we op de foto zien is dan ook niet afkomstig van het zwarte gat maar van materie in de buurt van het zwarte gat.)
Vraag 27
Voor het uitgezonden vermogen geldt volgens de wet van Stefan-BoltzmannP = σ·A·T4
Het oppervlak (A) van het zwarte gat berekenen we met A = πr2. Uit formule (2) volgt voor r
r = 2·G·M / v2
Voor oppervlak vinden we dan
A = π·(2·G·M / c2)2
A = π·4·G2·M2 / c4
Als we dit samen met T = 1,227·1023 / M (formule 3) invullen vinden we voor het uitgezonden vermogen
P = σ· π·4·G2·M2 / c4 · (1,227·1023 / M)4
P = σ· π·4·G2·c-4·(1,227·1023 ·M2·M)-4
P = constante·M2·M-4
P = constante· M-2
Vraag 28
Tussen het uitgezonden vermogen (P) en de massa geldt een omgekeerd kwadratisch verband. Dit betekent dat als de massa afneemt dat het vermogen toeneemt en dat de straling en dus ook de massa-afname zullen toenemen in de loop van de tijd. De grafiek zal dus in de loop van de tijd steeds sneller dalen. Grafiek A is dus de juiste grafiek.