Hawkingstraling
vwo 2023, 2e tijdvak, opgave 5

Vraag 23

Uit het Hertzsprung-Russeldiagram op de bijlage lezen we af dat log (P/P_zon) = 4,5. Dit betekent voor de lichtkracht:

P/P_zon = 10^4,5 = 31622

In de opgave staat het verband tussen lichtkracht en massa gegeven:

P/P_zon = (M/M_zon) ^3,8

Als we beide kanten tot de macht 1/3,8 doen vinden we

(P/P_zon)^1/3,8 = M/M_zon

Invullen van P/P_zon = 31622 geeft voor de massa

M/M_zon = 31622^1/3,8 = 15,283

De ster is dus afgerond 15 keer zo zwaar als de zon en zal dus eindigen als zwart gat.

Vraag 24

Voor een voorwerp op het oppervlak van de ster geldt voor de gravitatie-energie

E_g = -G·M·m/r

Op grootte afstand van de ster (r→∞) is de gravitatie-energie van het voorwerp 0 J. Om hier te komen is de moet een hoeveelheid energie geleverd worden van G·M·m/r. Als er tijdens het ontsnappen geen andere kracht geleverd wordt komt deze energie volledig uit de kinetische energie die het voorwerp heeft bij vertrek. Voor de minimale kinetische energie die hiervoor nodig is geldt dan dus

E_k = G·M·m/r

Voor de ontsnappingssnelheid (de minimaal nodige snelheid) volgt hieruit

½·m·v² = G·M·m/r

½·v² = G·M/r

v² = 2·G·M/r

v = √2·G·M/r

Vraag 25

Omschrijven van de formule uit de vorige vraag geeft

r = 2·G·M / v²

De massa is 20 keer de zonsmassa (1,9984·10³⁰ kg, Binas tabel 32C)

Invullen van

G = 6,67382·10^-11 (Binas tabel 7)
M = 3,9768·10³¹ kg
v = 2,9979·10⁸ (lichtsnelheid, Binas tabel 7)

geeft

r = 29530 m

De diameter is twee keer de straal . Het zwarte gat heeft dus afgerond een diameter van 59 km.

Vraag 26

De massa van een zwart gat is minimaal 15 zonsmassa's.

M > 15 ·1,9884·10³⁰ = 2,9826·10³¹ kg

Wanneer we dit invullen in de formule uit de opgave vinden we

T = 1,227·10²³ / 2,9826·10³¹ = 4,1139·10^-9 K

Dit is een extreem lage temperatuur en bij grotere massa's is de temparatuur nóg lager. Uit de wet van Wien volgt dan voor de golflengte waarbij de meeste straling wordt uitgezonden

λ_max = k_W/T

λ_max =2,89777·10^-3 / 4,1139·10^-9 = 704385 m

Dit is een golflengte van meer dan 700 km (!) (en nog groter voor zwaardere zwarte gaten). Dit is radiostraling met een extreem lange golflengte waarvoor antennes (radiotelescopen) nodig zouden zijn met een diameter in dezelfde orde van grootte. Praktisch onmogelijk om te detecteren dus. (De straling die we op de foto zien is dan ook niet afkomstig van het zwarte gat maar van materie in de buurt van het zwarte gat.)

Vraag 27

Voor het uitgezonden vermogen geldt volgens de wet van Stefan-Boltzmann

P = σ·A·T⁴

Het oppervlak (A) van het zwarte gat berekenen we met A = 4πr² (oppervlak van een bol). Uit formule (2) volgt voor r

r = 2·G·M / v²

Voor oppervlak vinden we dan als we voor de ontsnappingssnelheid (v) de lichtsnelheid (c) invullen

A = 4π·(2·G·M / c²)²

A = 4π·4·G²·M² / c⁴

We vullen in in de wet van Stefan-Boltzmann:

A = 4π·4·G²·M² / c⁴
T = 1,227·10²³ / M (formule 3)

en vinden dan

P = σ· 4π·4·G²·M² / c⁴ · (1,227·10²³ / M)⁴

P = [σ· 4π·4·G²·c^-4·(1,227·10²³)⁴] · M²·M^-4

Het hele gedeelte tussen vierkante haken is constant dus

P = constante·M²·M^-4

P = constante· M^-2

Vraag 28

Tussen het uitgezonden vermogen (P) en de massa geldt een omgekeerd kwadratisch verband. Dit betekent dat als de massa afneemt dat het vermogen toeneemt en dat de straling en dus ook de massa-afname zullen toenemen in de loop van de tijd. De grafiek zal dus in de loop van de tijd steeds sneller dalen. Grafiek A is dus de juiste grafiek.

Vraag over "Hawkingstraling"?

Typ hier je vraag

Stel je vraag     Hou mijn naam verborgen voor andere bezoekers