Inloggen

Jupiter fly-by
vwo 2016, 2e tijdvak, opgave 3


Download hierboven de originele pdf van het examen waar deze opgave in staat en de bijbehorende uitwerkbijlage. "Jupiter fly-by" is de 3e opgave in dit examen. Als je de opgave gemaakt hebt kun je jezelf nakijken met het correctievoorschrift.

Uitleg bij "Jupiter fly-by"

Probeer altijd eerst zelf de opgave te maken en gebruik de uitleg alleen als je er zelf niet uitkomt. Als je ook na deze uitleg nog vragen hebt dan kun je deze helemaal onderaan deze pagina stellen.

Vraag 12

De verkenner zal door de gravitatiekracht die Jupiter op de verkenner uitoefent versnellen naar Jupiter toe. Nadat de verkenner met hoge snelheid vlak langs Jupiter is geschoten beweegt de verkenner zich weer van Jupiter af. De gravitatiekracht zal de beweging van de verkenner dan juist afremmen. Als de verkenner uiteindelijk weer op dezelfde afstand van Jupiter is gekomen als in het begin heeft deze afremming ervoor gezorgd dat ook de grootte van zijn snelheid weer hetzelfde is als waar hij mee begon. Er is dus geen snelheidswinst geboekt en Chrissy heeft ongelijk.

Het is ook te beredeneren aan de hand van de wet van behoud van energie. De verkenner bezit gravitatie-energie die omgezet wordt in kinetische energie als de verkenner naar Jupiter toe versnelt. Als de verkenner van Jupiter weg beweegt gebeurt het omgekeerde en wordt de kinetische energie weer omgezet in gravitatie-energie. Als de verkenner weer op dezelfde afstand is als de beginafstand is de gravitatie-energie (die van de afstand afhangt) weer gelijk aan de oorspronkelijke gravitatie-energie en volgens de wet van behoud van energie kan er uiteindelijk geen kinetische energie zijn bijgekomen.

Vraag 13

Als we de beweging van Jupiter rond de zon beschouwen als eenparige cirkelbeweging kunnen we de baansnelheid berekenen met v = 2πr /T (zie BINAS tabel 35-A2). De baanstraal (r) en de omloopstijd (T) van Jupiter vinden we in BINAS tabel 31:

rJupiter = 0,7883·1012 m

TJupiter = 3,740·108 s (11,86 jaar)

Invullen in de formule geeft

v = 2π · 0,7883·1012 / 3,740·108 = 1,3243·104 ms-1

Dit zit in de buurt van de snelheid die Sanne en Chrissy hebben gevonden (1,30·104 ms-1). Het kleine verschil komt omdat de baan van Jupiter geen perfecte cirkel is en soms iets sneller en soms iets langzamer beweegt.

Vraag 14

Aan de in de vraag gegeven formules is te zien dat een eventuele snelheidswinst alleen geboekt kan worden in de x-richting (vy verandert namelijk niet). Hierbij geldt

vx,na = 2·vj - vx,voor

Een zo groot mogelijke eindsnelheid wil zeggen dat de absolute waarde van vx,na zo groot mogelijk moet zijn. In bovenstaande formule zien we dat voor een zo groot mogelijke absolute waarde vj en vx,voor tegengesteld aan elkaar moeten zijn (een positief en de ander negatief of andersom). Dit betekent dat de bewegingsrichting van Jupiter en de verkenner in de x-richting tegengesteld aan elkaar moeten zijn en dat ze dus tegen elkaar in moeten bewegen.

Vraag 15

De kinetische energie van een voorwerp hangt af van de massa en de snelheid van een voorwerp. Hierbij geldt (zie BINAS tabel 35-A4) Ek = ½mv2. Voor het verschil in kinetische energie vóór en na de flyby geldt dan

ΔEk,verkenner = ½ · mverkenner · (vna,x2 - vvoor,x2)
ΔEk,jupiter = ½ · mjupiter · (vna,j2 - vvoor,j2)

De toename in kinetische energie van de verkenner is gelijk aan de afname in kinetische energie van Jupiter. Er geldt ΔEk,verkenner = -ΔEk,jupiter dus

½·mverkenner·(vna,x2 - vvoor,x2) = ½ · mjupiter · (vvoor,j2 - vna,j2)

Voor de snelheidafname van Jupiter volgt hieruit

(vvoor,j2 - vna,j2) = (mverkenner/mjupiter) · (vna,x2 - vvoor,x2)

De factor mverkenner/mjupiter die in deze formule voorkomt is extreem klein door de enorme massa van Jupiter ten opzichte van de massa van de verkennen. Hierdoor zal de snelheidsverandering van Jupiter verwaarloosbaar klein zijn.

Vraag 16

In figuur 3A kunnen we de de snelheid van vvoor aflezen uit de lengte van de getekende snelheidsvector. In de x-richting wijst de pijl 1 hokje naar rechts. In de y-richting 1,7 hokje naar boven. In het plaatje wat boven figuur 3 staat kunnen we zien dat snelheden naar rechts (x-richting) en naar boven (y-richting) positief zijn. We vinden dus

vvoor,x = + 1,0
vvoor,y = + 1,7

Jupiter heeft in alle plaatje in figuur 3 een snelheid van 1,0 hokje naar links (en geen snelheid in de y-richting). Dus

vj = -1,0

Wanneer we deze waarden invullen in de formules (1) en (2) die in de opgaven gegeven staan vinden we

vna,x = (2·-1,0) - 1,0 = -3,0
vna,x =1,7

De snelheidsvector in plaatje 3C is dus een pijl van 3 hokjes naar links en 1,7 hokjes naar boven (zie afbeelding hieronder).

Vraag 17

In regel 2 van het model staat a = GM/r2. Hier wordt de versnelling (a) berekend die de verkenner ondergaat als gevolg van de aantrekkingskracht van Jupiter. Deze kracht hangt af van de massa van de verkenner én de massa van Jupiter. Voor de versnelling geldt a=F/m (2e wet van Newton) waardoor de massa van de verkenner uit de formule wegvalt. De versnelling is dus alleen afhankelijk van de massa van Jupiter. Deze vinden we in BINAS tabel 31 en vullen we in bij de startwaarden

M = 1900·1024

In modelregel 9 wordt de nieuwe positie van de Jupiter berekend. De berekening is hetzelfde als de berekening in de regel 7 met xj in plaats van x en vj in plaats van vx. De startwaarden staan al ingevuld en ook de richting van de verplaatsing van Jupiter is al rekening gehouden (er staat al een min bij de startwaarde van vj). Modelregel 9 wordt dus

xj = xj + vj*dt

De grootte en de richting van de versnelling die de verkenner ondervindt hangt af van de afstand en relatieve positie van de verkenner ten opzicht van Jupiter. De variabelen x en y geven de positie van de verkenner ten opzichte van de beginpositie van Jupiter. Maar omdat Jupiter zelf ook beweegt moet bij de berekening in regels 1 en 3 niet van x maar van (x-xj) gebruik gemaakt worden.

Vraag 18

Uit de grafiek in figuur 5 kunnen we de snelheden vooraf en achteraf aflezen. We vinden dan

vvoor,x = 1,4·104 ms-1
vna,x = -4,0·104 ms-1
vvoor,y = 2,5·104 ms-1
vna,y = 2,5·104 ms-1

De snelheid van Jupiter die in het model gebruikt is vinden we bij de startwaarden

vj = -1,3·104 ms-1

Wanneer we deze snelheden invullen in de formules (1) en (2) die in het begin van de opgave gegeven worden vinden we

vna,x = 2·-1,3·104 - 1,4·104 = -4,0·104 ms-1
vna,y = 2,5·104 ms-1

Deze snelheden komen inderdaad overeen met de eindsnelheden die we in de grafiek hebben afgelezen.

Vraag 19

De ontnappingssnelheid op een bepaalde positie wordt bepaald door het verschil in gravitatie-energie tussen deze positie en een positie op zeer grote afstand. Voor de gravitatie-energie ten opzichte van de zon geldt (zie BINAS tabel 35-A5)

Eg = -G mMzon/r

Als de afstand heel groot wordt (r → ∞) wordt de gravitatie-energie 0. De hoeveelheid energie die nodig is om het verschil te overbruggen is gelijk aan GmMzon/r. Om te kunnen onstsnappen moet de kinetische energie van een voorwerp minimaal deze grootte hebben. Er moet dan dus gelden

Ek ≥ GmMzon/r

Voor de minimale snelheid die nodig is om te ontsnappen vinden we dan

½·m·vmin2 = GmMzon/r

vmin2 = 2GM/r

vmin = √(2GMzon/r)

Vraag 20

De ontsnappingssnelheid vinden we door het invullen van de in de opgave gegeven formule. We vullen in

G = 6,67·10-11 (zie BINAS tabel 7)
Mzon = 1,9884·1030 kg (BINAS tabel 32C)
r = 0,7883·1012 m (BINAS tabel 31)

We vinden dan vmin = 1,83·104 ms-1.

Voor de eindsnelheid van de verkenner vonden we eerder uit figuur 5

vna,x = -4,0·104 ms-1
vna,y = 2,5·104 ms-1

De grootte van de eindsnelheid kunnen we berekenen met de stelling van Pythagoras (zie afbeelding hieronder, de grootte van de snelheid is de lengte van de schuine zijde)

v = √(vna,x2 + vna,y2)

Invullen geeft v = 4,72·104 ms-1. De grootte van de eindsnelheid van de verkenner is dus groter dan de ontsnappingssnelheid en de verkenner heeft genoeg snelheid om aan het zonnestelsel te kunnen ontsnappen.


jupiterflyby-1


Zelf modelberekeningen doen met de modellen uit deze opgaven?
Kijk op natuurkundeuitgelegd.nl/modelleren

Vraag over "Jupiter fly-by"?


    Hou mijn naam verborgen

Eerder gestelde vragen | Jupiter fly-by

Op zaterdag 20 apr 2019 om 21:17 is de volgende vraag gesteld
Ik snap het volgende niet zo goed (vraag 15):
(vvoor,j2 - vna,j2) = (mverkenner/mjupiter) · (vna,x2 - vvoor,x2)
De factor mverkenner/mjupiter die in deze formule voorkomt is extreem klein door de enorme massa van Jupiter ten opzichte van de massa van de verkennen. Hierdoor zal de snelheidsverandering van Jupiter verwaarloosbaar klein zijn.

Is het hier dat de breuk (mverkenner/mjupiter) zo klein wordt dat dit * (vna,x2 - vvoor,x2) een kleine waarde oplevert en daardoor is de snelheidverandering niet goed merkbaar?

Erik van Munster reageerde op zaterdag 20 apr 2019 om 21:32
Ja, klopt. Doordat mv/mj zo klein is is de snelheidsverandering van de planeet Jupiter verwaarloosbaar. De planeet zal dus niet van snelheid veranderen (maar de verkenner wel!)


Gerbrich Schuurmans vroeg op donderdag 11 apr 2019 om 19:04
Beste Erik

Ik begrijp vraag 14 niet. De snelheid van jupiter Vj heeft een negatieve beweging (naar links) en Vvoor,x positief (naar rechts). Als deze beide groot worden zal dit toch niet leiden tot een grote Vna,x (welke naar links gericht is). Juist Vj zou groot moeten zijn en Vvoor,x klein, dacht ik? Ik begrijp niet hoe dit nu zit. Alvast bedankt!!

Erik van Munster reageerde op donderdag 11 apr 2019 om 23:10
Dit blijkt uit de formule dat je een zo groot mogelijk snelheid krijgt als de ene positief is en de andere negatief. De formule is:

vx,na = 2·vj - vx,voor

Stel bijvoorbeeld vj=200 en vx,voor=300 (allebei positief). De eindsnelheid wordt dan

vx,na = 2*200 - 300 = 100

En stel bijvoorbeeld vj=-200 en vx,voor=300 (de een negatief de ander positief). De eindsnelheid wordt dan

vx,na = 2*-200 - 300 = -700

De snelheid is dus veel groter als de twee beginsnelheden tegengesteld zijn aan elkaar.


Op maandag 21 mei 2018 om 15:50 is de volgende vraag gesteld
Dag Erik,

Vraag 19. Het is mij nog niet duidelijk waarom de - in de formule voor G. wordt weggelaten. Hoe komt dat?

Erik van Munster reageerde op maandag 21 mei 2018 om 16:52
De gravitatie-energie die de verkenner heeft als hij nog bij Jupiter aan de buurt is (Eg,voor), is inderdaad een negatief getal vanwege het minteken in de formule. De gravitatie-energie als de verkenner ver weg is en ontsnapt aan het zonnestelsel (Eg,na) is 0 J. Dus...

Eg,voor = -x
Eg,na = 0

De vraag is: hoeveel energie is er nodig om de gravitatie energie te verhogen van -x tot 0. Deze hoeveelheid is x. Vandaar dat het minteken wegvalt. Er is energie NODIG om de verkenner buiten het zonnestelsel te brengen. Het gaat dus niet om -x maar om het VERSCHIL tussen -x en 0.


Thomas Rous vroeg op zondag 20 mei 2018 om 21:03
Beste Erik,

Waarom wordt bij vraag 20 de afstand van Jupiter tot de zon genomen. Hoe weet je dit?

Ik hoor het graag!

Erik van Munster reageerde op zondag 20 mei 2018 om 21:12
De vraag gaat over het ontsnappen van de verkenner aan het zonnestelsel. Verreweg de grootste massa in het zonnestelsel is de zon en ontsnappen betekent dus ontsnappen aan de gravitatiekracht van de zon. De verkenner bevindt zich bij jupiter dus de afstand van de verkenner tot de zon is de afstand van jupiter tot de zon. Vandaar.


Op dinsdag 8 mei 2018 om 12:48 is de volgende vraag gesteld
Hallo,
Zou u mij kunnen uitleggen waarom er bij vraag 20 gebruik wordt gemaakt van de afstand van Jupiter tot de zon? In de opgave staat namelijk dat r de afstand is tussen de satelliet en de zon? Waarom wordt dan de afstand van Jupiter hier ingevuld?
En als die afstand dus kennelijk moet worden gebruikt, waarom wordt dan de baanstraal van Jupiter en de zon toegepast? Want in eerdere opgaven heb ik altijd voor de afstand tussen een planeet en de zon de baanstraal + de equatorstraal van de planeet + de straal van de zon gebruikt. Dat moet toch omdat de afstand tussen twee planeten vanuit het middelpunt moet? Ik zie dat ze dit ook niet doen bij vraag 13.
Alvast bedank!

Erik van Munster reageerde op dinsdag 8 mei 2018 om 16:10
Je hebt helemaal gelijk maar de afstand van Jupiter tot de zon is zó ontzettend groot vergeleken met de afstand van de satelliet tot Jupiter en vergeleken met de straal van jupiter. Dit betekent dat je hier gewoon de baanstraal van Jupiter mag gebruiken.

(Als je toch rekening houdt met de straal van Jupiter zelf en de afstand van de satelliet zul je zien dat je afgerond op hetzelfde antwoord komt)

Op dinsdag 8 mei 2018 om 16:25 is de volgende reactie gegeven
Oké dankuwel voor de snelle reactie! Klopt het dat met baanstraal in BINAS dus de straal van middelpunt tot middelpunt (zon) wordt bedoeld?

Erik van Munster reageerde op dinsdag 8 mei 2018 om 17:27
Ja, de baanstraal is de afstand van middelpunt tot middelpunt.


Eline Brandwijk vroeg op donderdag 11 mei 2017 om 22:18
Geachte meneer Van Munster,

Kunt u uitleggen wat de bedoeling is bij de examenopdrachten, mbt modelleren? Zie bijvoorbeeld examen 2016 tv2 vraag 17? Ik snap er helemaal niets van, hopelijk heeft u een antwoord.

Met vriendelijke groet, Eline.

Erik van Munster reageerde op vrijdag 12 mei 2017 om 09:05
{Ik heb je vraag even verplaatst naar de examenopgave waar hij bij hoort]

Modelleren kun je eigenlijk alleen goed doen op de computer. Op papier (zoals in het CE) kun je er niet zoveel mee. Wat er uiteindelijk gevraagd wordt is vaak veel simpeler dan het model zelf. Ook bij deze opgave:

Het model bij vraag 17 ziet er ingewikkeld uit maar de vraag is uiteindelijk alleen maar om wat regels aan te vullen.

-Ze vragen eerst om de startwaarde van M. Als je in modelregel 2 kijkt zie je dat M gebruikt wordt voor het berekenen van de valversnelling naar Jupiter toe (a). Deze hangt af van de massa van Jupiter en je weet dan dat M de massa van Jupiter is: Opzoeken in BINAS tabel 31 en invullen dus.

Erik van Munster reageerde op vrijdag 12 mei 2017 om 09:10
...vervolg

-Ze vragen daarna om modelregel 9 af te maken. 'xj' is de x-positie van Jupiter en de berekening is precies hetzelfde als de berekening van de x-positie van de verkenner alleen met andere getallen. Als je even zoekt bij de startwaarde zie je dat de snelheid van Jupiter in het model 'vj' heet. De regel wordt dan dus: xj = xj + vj*dt

- De laatste vraag: In het model wordt de afstand tot jupiter gebruikt om de versnelling te berekenen. 'x' is in het begin de x-afstand ten opzichte van Jupiter. Maar... niet alleen de verkennen verplaatst zich maar ook Jupiter. De x-afstand tussen Jupiter en de verkennen is dus niet x maar (x-xj).


Op donderdag 11 mei 2017 om 01:20 is de volgende vraag gesteld
hoi,
ik snap vraag 12 niet. Hoe komt het dat de verkenner zijn energie daarna weer verliest? Is er een aantrekkingskracht van de planeet op de verkenner die het laat vertragen? Volgens het eerste mogelijke antwoord in de uitwerkingen komg er geen energie van buitenaf. Heeft een stilstaande planeet dan geen aantrekkingskracht? zo nee, waarom niet? en wat bedoelen ze dan met het tweede mogelijke antwoord?

alvast bedankt!

Erik van Munster reageerde op donderdag 11 mei 2017 om 08:38
De verkenner verliest zijn kinetische energie weer nadat hij Jupiter gepasseerd is en dit komt inderdaad door de aantrekkingskracht van Jupiter. Als je dit antwoord is het goed.

Met de "energie van buitenaf" in het correctiemodel wordt bedoeld dat je alleen maar kinetische- en gravitatie-energie hebt. Om snelheid te winnen zou er nóg meer energie moeten zijn om voor de snelheidstoename te zorgen en deze energie zou dan ergens van buitenaf er zomaar bij moeten komen. Dit laatste kan niet volgens de wet van behoud van energie.


Op donderdag 4 mei 2017 om 14:17 is de volgende vraag gesteld
Hallo,
Ik snap vraag 16 van de opgave niet (het construeren). De snelheidsvector in de y-richting had ik goed en ik had ook gebruik gemaakt van de formule Vna,x = 2Vj - Vvoor,x, maar ik snap blijkbaar de formule niet. Want ik had de snelheid van Jupiter (1 vierkantje) vermenigvuldigd met 2 = twee vierkantjes. En daar had ik de snelheid van de verkenner van af gehaald (1 vierkantje) dus 2-1 = 1 vierkantje. Maar in de correctievoorschrift staan er 3 vierkantjes in de x- richting voor de snelheid. En dat snap ik dus niet...
Kunt u me uitleggen hoe ze op deze snelheid in de x-richting komen?

Groetjes,
Anna

Erik van Munster reageerde op donderdag 4 mei 2017 om 14:34
In het model en in de figuur geldt een snelheid naar rechts als positief en een snelheid naar links als negatief. De snelheid van Jupiter is naar links en dus negatief: -1 hokje dus. De snelheid van de verkenner in de x-richting vóóraf is naar rechts en dus positief. +1 hokje dus. Als je hiermee rekening houdt en de formule gebruikt krijgt je

vna,x = 2Vj - Vvoor,x

vna,x = 2*(-1) - 1

vna,x = -3

vandaar 3 hokjes naar links.