Jupiter fly-by
vwo 2016, 2e tijdvak, opgave 3

Vraag 12

De verkenner zal door de gravitatiekracht die Jupiter op de verkenner uitoefent versnellen naar Jupiter toe. Nadat de verkenner met hoge snelheid vlak langs Jupiter is geschoten beweegt de verkenner zich weer van Jupiter af. De gravitatiekracht zal de beweging van de verkenner dan juist afremmen. Als de verkenner uiteindelijk weer op dezelfde afstand van Jupiter is gekomen als in het begin heeft deze afremming ervoor gezorgd dat ook de grootte van zijn snelheid weer hetzelfde is als waar hij mee begon. Er is dus geen snelheidswinst geboekt en Chrissy heeft ongelijk.

Het is ook te beredeneren aan de hand van de wet van behoud van energie. De verkenner bezit gravitatie-energie die omgezet wordt in kinetische energie als de verkenner naar Jupiter toe versnelt. Als de verkenner van Jupiter weg beweegt gebeurt het omgekeerde en wordt de kinetische energie weer omgezet in gravitatie-energie. Als de verkenner weer op dezelfde afstand is als de beginafstand is de gravitatie-energie (die van de afstand afhangt) weer gelijk aan de oorspronkelijke gravitatie-energie en volgens de wet van behoud van energie kan er uiteindelijk geen kinetische energie zijn bijgekomen.

Vraag 13

Als we de beweging van Jupiter rond de zon beschouwen als eenparige cirkelbeweging kunnen we de baansnelheid berekenen met v = 2πr /T (zie BINAS tabel 35-A2). De baanstraal (r) en de omlooptijd (T) van Jupiter vinden we in BINAS tabel 31:

r_Jupiter = 0,7883·10¹² m

T_Jupiter = 3,740·10⁸ s (11,86 jaar)

Invullen in de formule geeft

v = 2π · 0,7883·10¹² / 3,740·10⁸ = 1,3243·10⁴ ms^-1

Dit zit in de buurt van de snelheid die Sanne en Chrissy hebben gevonden (1,30·10⁴ ms^-1). Het kleine verschil komt omdat de baan van Jupiter geen perfecte cirkel is en soms iets sneller en soms iets langzamer beweegt.

Vraag 14

Aan de in de vraag gegeven formules is te zien dat een eventuele snelheidswinst alleen geboekt kan worden in de x-richting (v_y verandert namelijk niet). Hierbij geldt

v_x,na = 2·v_j - v_x,voor

Een zo groot mogelijke eindsnelheid wil zeggen dat de absolute waarde van v_x,na zo groot mogelijk moet zijn. In bovenstaande formule zien we dat voor een zo groot mogelijke absolute waarde v_j en v_x,voor tegengesteld aan elkaar moeten zijn (een positief en de ander negatief of andersom). Dit betekent dat de bewegingsrichting van Jupiter en de verkenner in de x-richting tegengesteld aan elkaar moeten zijn en dat ze dus tegen elkaar in moeten bewegen.

Vraag 15

De kinetische energie van een voorwerp hangt af van de massa en de snelheid van een voorwerp. Hierbij geldt (zie BINAS tabel 35-A4) E_k = ½mv². Voor het verschil in kinetische energie vóór en na de flyby geldt dan

ΔE_k,verkenner = ½ · m_verkenner · (v_na,x² - v_voor,x²)
ΔE_k,jupiter = ½ · m_jupiter · (v_na,j² - v_voor,j²)

De toename in kinetische energie van de verkenner is gelijk aan de afname in kinetische energie van Jupiter. Er geldt ΔE_k,verkenner = -ΔE_k,jupiter dus

½·m_verkenner·(v_na,x² - v_voor,x²) = ½ · m_jupiter · (v_voor,j² - v_na,j²)

Voor de snelheidafname van Jupiter volgt hieruit

(v_voor,j² - v_na,j²) = (m_verkenner/m_jupiter) · (v_na,x² - v_voor,x²)

De factor m_verkenner/m_jupiter die in deze formule voorkomt is extreem klein door de enorme massa van Jupiter ten opzichte van de massa van de verkennen. Hierdoor zal de snelheidsverandering van Jupiter verwaarloosbaar klein zijn.

Vraag 16

In figuur 3A kunnen we de de snelheid van v_voor aflezen uit de lengte van de getekende snelheidsvector. In de x-richting wijst de pijl 1 hokje naar rechts. In de y-richting 1,7 hokje naar boven. In het plaatje wat boven figuur 3 staat kunnen we zien dat snelheden naar rechts (x-richting) en naar boven (y-richting) positief zijn. We vinden dus

v_voor,x = + 1,0
v_voor,y = + 1,7

Jupiter heeft in alle plaatje in figuur 3 een snelheid van 1,0 hokje naar links (en geen snelheid in de y-richting). Dus

v_j = -1,0

Wanneer we deze waarden invullen in de formules (1) en (2) die in de opgaven gegeven staan vinden we

v_na,x = (2·-1,0) - 1,0 = -3,0
v_na,x =1,7

De snelheidsvector in plaatje 3C is dus een pijl van 3 hokjes naar links en 1,7 hokjes naar boven (zie afbeelding hieronder).

Vraag 17

In regel 2 van het model staat a = GM/r². Hier wordt de versnelling (a) berekend die de verkenner ondergaat als gevolg van de aantrekkingskracht van Jupiter. Deze kracht hangt af van de massa van de verkenner én de massa van Jupiter. Voor de versnelling geldt a=F/m (2e wet van Newton) waardoor de massa van de verkenner uit de formule wegvalt. De versnelling is dus alleen afhankelijk van de massa van Jupiter. Deze vinden we in BINAS tabel 31 en vullen we in bij de startwaarden

M = 1900·10²⁴

In modelregel 9 wordt de nieuwe positie van de Jupiter berekend. De berekening is hetzelfde als de berekening in de regel 7 met x_j in plaats van x en v_j in plaats van vx. De startwaarden staan al ingevuld en ook de richting van de verplaatsing van Jupiter is al rekening gehouden (er staat al een min bij de startwaarde van v_j). Modelregel 9 wordt dus

xj = xj + vj*dt

De grootte en de richting van de versnelling die de verkenner ondervindt hangt af van de afstand en relatieve positie van de verkenner ten opzicht van Jupiter. De variabelen x en y geven de positie van de verkenner ten opzichte van de beginpositie van Jupiter. Maar omdat Jupiter zelf ook beweegt moet bij de berekening in regels 1 en 3 niet van x maar van (x-x_j) gebruik gemaakt worden.

Vraag 18

Uit de grafiek in figuur 5 kunnen we de snelheden vooraf en achteraf aflezen. We vinden dan

v_voor,x = 1,4·10⁴ ms^-1
v_na,x = -4,0·10⁴ ms^-1
v_voor,y = 2,5·10⁴ ms^-1
v_na,y = 2,5·10⁴ ms^-1

De snelheid van Jupiter die in het model gebruikt is vinden we bij de startwaarden

v_j = -1,3·10⁴ ms^-1

Wanneer we deze snelheden invullen in de formules (1) en (2) die in het begin van de opgave gegeven worden vinden we

v_na,x = 2·-1,3·10⁴ - 1,4·10⁴ = -4,0·10⁴ ms^-1
v_na,y = 2,5·10⁴ ms^-1

Deze snelheden komen inderdaad overeen met de eindsnelheden die we in de grafiek hebben afgelezen.

Vraag 19

De ontnappingssnelheid op een bepaalde positie wordt bepaald door het verschil in gravitatie-energie tussen deze positie en een positie op zeer grote afstand. Voor de gravitatie-energie ten opzichte van de zon geldt (zie BINAS tabel 35-A5)

E_g = -G mM_zon/r

Als de afstand heel groot wordt (r → ∞) wordt de gravitatie-energie 0. De hoeveelheid energie die nodig is om het verschil te overbruggen is gelijk aan GmM_zon/r. Om te kunnen onstsnappen moet de kinetische energie van een voorwerp minimaal deze grootte hebben. Er moet dan dus gelden

E_k ≥ GmM_zon/r

Voor de minimale snelheid die nodig is om te ontsnappen vinden we dan

½·m·v_min² = GmM_zon/r

v_min² = 2GM/r

v_min = √(2GM_zon/r)

Vraag 20

De ontsnappingssnelheid vinden we door het invullen van de in de opgave gegeven formule. We vullen in

G = 6,67·10^-11 (zie BINAS tabel 7)
M_zon = 1,9884·10³⁰ kg (BINAS tabel 32C)
r = 0,7883·10¹² m (BINAS tabel 31)

We vinden dan v_min = 1,83·10⁴ ms^-1.

Voor de eindsnelheid van de verkenner vonden we eerder uit figuur 5

v_na,x = -4,0·10⁴ ms^-1
v_na,y = 2,5·10⁴ ms^-1

De grootte van de eindsnelheid kunnen we berekenen met de stelling van Pythagoras (zie afbeelding hieronder, de grootte van de snelheid is de lengte van de schuine zijde)

v = √(v_na,x² + v_na,y²)

Invullen geeft v = 4,72·10⁴ ms^-1. De grootte van de eindsnelheid van de verkenner is dus groter dan de ontsnappingssnelheid en de verkenner heeft genoeg snelheid om aan het zonnestelsel te kunnen ontsnappen.





Zelf modelberekeningen doen met de modellen uit deze opgaven?
Kijk op natuurkundeuitgelegd.nl/modelleren

Vraag over "Jupiter fly-by"?

Typ hier je vraag

Stel je vraag     Hou mijn naam verborgen voor andere bezoekers