Massa meten in de ruimte
vwo 2022, 2e tijdvak, opgave 1

Vraag 1

Een weegschaal meet eigenlijk niet massa maar gewicht: de kracht waarmee voorwerpen, dankzij de zwaartekracht op aarde, op de weegschaal gedrukt worden. Omdat het ruimtestation zich in een baan om de aarde beweegt heerst in het ruimtestation gewichtsloosheid en hebben voorwerpen geen gewicht.

Vraag 2

• Zie afbeelding hieronder. In situatie 2 zijn beide veren even ver uitgerekt en oefenen dus een even grote (maar tegengestelde) kracht uit. De krachtvector van de rechterveer (F_R) is dus even lang als F_L. In situatie 3 is de uitrekking van de linkerveer groter en die van de rechterveer kleiner (maar nog groter dan de rustuitrekking van situatie 1). De toename van u links is even groot als de afname van u rechts. Omdat kracht en uitrekking van een veer rechtevenredig met elkaar zijn (F = C·u) geldt dit ook voor de krachten. De toename van F_L (rood in de afbeelding hieronder) is even groot als de afname in F_R.
• Voor de grootte van de krachten geldt
  
  F_R = C*·u_R
  F_L = C*·u_L
  
  De resulterende kracht is het verschil tussen deze krachten
  
  F_res = F_R - F_L
  
  F_res = C·u_R - C·u_L
  
  F_res = C·(u_R - u_L)
  
  In de evenwichtsstand van situatie 2 geldt u_R=u_L en is F_res gelijk aan nul. Als de massa een stukje Δu verschoven wordt naar rechts wordt de uitwijking rechts gelijk aan u_R-Δu en de uitwijking links gelijk aan u_L+Δu. Invullen geeft dan voor de resulterende kracht
  
  F_res = C·[(u_R-Δu) - (u_L+Δu)]
  
  F_res = C·[u_R - u_L -2·Δu]
  
  F_res = C·[0 -2·Δu]
  
  F = -2·C·Δu
  
  Het minteken betekent hier dat de kracht tegengesteld is aan de richting van de uitwijking, precies zoals je zou verwachten. De factor 2 betekent dat de veerconstante het dubbele is van de veerconstante van een enkele veer en dus gelijk is aan 2·25 = 50 N/m.

Vraag 3

In figuur 3 zien we dat de amplitude gelijk blijft. We kunnen dus gewoon aflezen op welk moment de trilling in dezelfde fase is als aan het begin. We lezen op deze manier af dat 3 trillingen 1,26 s duren. We vinden dan voor de trillingstijd

T = 1,26 / 3 = 0,42 s

Aan de sinusvorm van de grafiek zien we dat het om een harmonische trilling gaan, het is immers een massa-veersysteem, en dat dus geldt T = 2π√m/C. Als we de formule omschrijven vinden we

m = C·T² / 4π²

Invullen van

T = 0,42
C = 50 N/m

geeft

m = 0,22341 kg

Afgerond is dit een massa van 0,22 kg.

Vraag 4

Voor de maximale snelheid bij een harmonische trilling geldt

v_max = 2π·A / T

Amplitude (A) en trillingstijd (T) lezen we af uit de figuur op de bijlage. We lezen een amplitude van 0,375 m af en zien dat 3 trillingen 8,4 duren. Trillingstijd is dus 8,4 / 3 = 2,8 s. Invullen geeft dan

v_max = 2π · 0,375 / 2,8 = 0,84 ms^-1.

(Een alternatieve manier voor het bepalen van de snelheid is het rekenen van een raaklijn op het moment dat de snelheid maximaal is, namelijk als de grafiek door de x-as gaat.)

Zie afbeelding hieronder voor hoe de v,t-grafiek getekend kan worden met behulp van de x,t-grafiek. Voor het schetsen van de grafiek moeten we er rekening mee houden dat v = 0 als de x,t-grafiek horizontaal loopt: Dit zijn de toppen en dalen van de x,t-grafiek (blauw). Als de grafiek door de x-as omhoog gaat is de snelheid maximaal (groen). Als de grafiek door de x-as omlaag gaat is de grootte van de snelheid ook maximaal maar is de snelheid negatief (rood). Uiteindelijk ontstaat zo de v,t-grafiek die hieronder staat.

De vorm van de grafiek kan ook bepaald worden door te kijken naar de afgeleide. Snelheid is namelijk de afgeleide naar de tijd van de positie. In de x,t-grafiek herkennen we de vorm van f(x) = cos(x). Voor de afgeleide vinden we dan f'(x) = -sin(x). Dit is een negatieve sinus met dezelfde periode. De v,t-grafiek is dus sinusvormig en begint t=0 naar beneden lopend.

Vraag 5

Voor de veerenergie geldt E_v = ½·C·u². De totale veerenergie is de optelsom van de veerenergie van de linkerveer en die van de rechterveer.

E_v,totaal = ½·C·u_L² + ½·C·u_R²

Als we ½·C buiten haakjes halen vinden we

E_v,totaal = ½·C·(u_L² + u_R²)

Dit is antwoord B.

Vraag 6

Bij vraag 2 hebben we gezien dat in de evenwichtsstand beide veren gespannen zijn en dus altijd een uitrekking hebben. Ook in de uiterste stand zal, zelfs als de uitrekking van één van de veren 0 zou worden, de andere veer op dat moment juist sterk uitgerekt zijn. De totale veerenergie wordt dus nergens 0.

Vraag 7

André kijkt naar het energieverlies per seconde. Energieverandering per seconde heet vermogen. Bij wrijving geldt voor dit vermogen

P = F_w·v

Bij luchtwrijving is de wrijvingskracht inderdaad afhankelijk van de de snelheid. Maar ook als de wrijving niet van de snelheid afhangt, hangt het vermogensverlies P wel van de snelheid af vanwege de factor v die in de formule staat. Ook bij een niet van de snelheid afhankelijk wrijvingskracht zal de grafiek dus hobbelig blijven.

Vraag over "Massa meten in de ruimte"?

Typ hier je vraag

Stel je vraag     Hou mijn naam verborgen voor andere bezoekers