Inloggen

Ruimtelift
VWO 2016, 1e tijdvak, opgave 2


Download hierboven de originele pdf van het examen waar deze opgave in staat en de bijbehorende uitwerkbijlage. "Ruimtelift" is de 2e opgave in dit examen. Als je de opgave gemaakt hebt kun je jezelf nakijken met het correctievoorschrift.

Uitleg bij "Ruimtelift"

Probeer altijd eerst zelf de opgave te maken en gebruik de uitleg alleen als je er zelf niet uitkomt. Als je ook na deze uitleg nog vragen hebt dan kun je deze helemaal onderaan deze pagina stellen.

Vraag 5

Een geostationaire baan is een cirkelvormige satellietbaan recht boven de evenaar waarbij de omloopstijd van een satelliet gelijk is aan de rotatietijd van de aarde. Net als bij alle satellietbanen is de gravitatiekracht gelijk aan de middelpuntzoekende kracht (ook te zien in het stippellijntje in figuur 1. De formules voor Fmpz en Fz vinden we in BINAS tabel 35-A2 en A5. Als we ze gelijkstellen vinden we

m·v2 / r = G·m·M / r2

Links en rechts valt m weg. Beide kanten vermenigvuldigen met r geeft

v2 = G·M / r

Voor de baansnelheid (v) bij een eenparige cirkelbeweging geldt v = 2πr/T (zie BINAS tabel 35-A2). Invullen in bovenstaande formule geeft

(2πr/T)2 = G·M / r

2r2/T2 = G·M / r

Beide kanten delen door 4π2 en vermenigvuldigen met r geeft

r3 = G·M·T2 / 4π2

Voor r geldt dus

r = 3√ (G·M·T2 / 4π2)

Voor de grootheden G,M en T vullen we in

G = 6,67384·10-11 Nm2kg-2 (In BINAS tabel 7)
M = 5,972·1024 kg (BINAS tabel 31)
T = 24 uur·60·60 = 86400 s

We vinden dan r = 4,2232·107 m. De r die we hebben uitgerekend is de afstand tussen de zwaartepunten van de satelliet en de aarde en niet de hoogte boven het aardoppervlak. Voor de hoogte moeten we de straal van de aarde (Ra) hier nog van aftrekken. In BINAS tabel 31 vinden we voor de straal van de aarde 6,371·106 m. Voor de hoogte vinden we dan

h = 4,2232·107 - 6,371·106 = 3,5861·107 m

Afgerond is dit 3,6·107 m.

Vraag 6

In de grafiek in figuur 1 staan per hoogte de gravitatiekracht en de middelpuntzoekende kracht voor een omloopstijd van 24 uur. Te zien is dat bij een hoogte groter dan de geostationaire hoogte geldt dat Fmpz > Fg. Dit betekent dat de benodigde middelpuntzoekende kracht om massa B in zijn baan te houden groter is dan de gravitatiekracht. Met andere woorden: Om de massa in zijn baan te houden moet er behalve Fg nóg een kracht gericht naar de aarde werken om voor de benodigde Fmpz te zorgen. De enige kracht die dit kan zijn is de spankracht die door de kabel op massa B wordt uitgeoefent. Een kabel kan alleen spankracht uitoefenen als deze strak gespannen staat.

Vraag 7

  • In regel 8 van het model 8 wordt een kracht (Fmotor) vermenigvuldigd met een afstand (dx) die de ruimtelift langs de kabel aflegt. Kracht keer afstand is de door de kracht verrichtte arbeid. Hier wordt dus berekend hoeveel arbeid er door de motor wordt verricht tijdens de verplaatsing over stukje dx.
  • In modelregel 9 wordt dm_brandstof berekend. Dit is de verandering in de massa van de brandstof aan boord. De massa van de brandstof neemt af bij het leveren van de benodigde energie voor het verrichten van arbeid. Voor de chemische energie in een brandstof geldt (zie BINAS tabel 35-A4)

    Ech = rm·m

    In deze formule is rm de stookwaarde of verbrandingswarmte. Voor de massa die nodig is voor het leveren van een bepaalde energie geldt dus

    m = Ech / rm

    In dit model is de te leveren energie de arbeid dW die in modelregel 8 berekend wordt en staat de verbrandingswarmte bij de startwaarden. Model regel 9 wordt dus

    dm_brandstof = dW / verbrandingswarmte

  • De snelheid (v) heeft in het model een startwaarde en wordt in modelregel 6 gebruikt bij de berekening van dx maar er is géén modelregel waarin de snelheid wordt aangepast. De snelheid blijft dus in het hele model zijn startwaarde houden.

Vraag 8

In modelregels 3 en 4 is te zien dat de groottes van alle krachten in dit model evenredig zijn van de totale massa van de ruimtelift. De arbeid die verricht wordt bij het klimmen is dus ook kleiner en er zal dus ook minder brandstof verbruikt worden als de ruimtelift met minder brandstof begint. Vandaar dat de ruimtelift ook met minder dan 8,8·103 kg gewoon boven komt.

Vraag 9

Voor de resulterende kracht op een voorwerp geldt de 2e wet van Newton (Fres = m·a). De versnelling (a) kunnen we bepalen door het tekenen van een raaklijn in de (v,t)-grafiek op de uitwerkbijlage. We vinden hiermee een versnelling van 7,3·10-5 ms-2 (zie hieronder). Massa van de lift staat in de vraag (6,0·103 kg). Invullen geeft

Fres = 7,3·10-5 · 6,0·103 = 0,438 N

Afgerond is dit 0,44 N.

Vraag 10

Uit een (v,t)-grafiek kan de afgelegde afstand op een bepaald moment bepaald worden met de oppervlakte- of hokjesmethode. Zie afbeelding hieronder: Eerst bepalen we de afstand die correspondeert met één hokje en vervolgens tellen we het aantal hokjes tussen de grafiek en de x-as. We komen zo op een afstand van 7,2576·105 m. Afgerond is dit 7,3·105 m.


ruimtelift-1

ruimtelift-2


Zelf modelberekeningen doen met de modellen uit deze opgaven?
Kijk op natuurkundeuitgelegd.nl/modelleren

Vraag over "Ruimtelift"?


    Hou mijn naam verborgen

Eerder gestelde vragen | Ruimtelift

Ilknur Soyturk vroeg op zaterdag 12 mei 2018 om 15:37
Hallo Erik,

Ik kom inderdaad uit op de goeie antwoord r= 4,223*10^7. Maar wat ik niet begrijp is dat ze de straal van de aarde eraf trekken. In de opgave staat ''vanaf de aardoppervlak'' dus de r die ik heb gekregen is vanaf de aardoppervlakte. Dan moet je toch JUIST de straal van de aarde erbij optellen om de hoogte te krijgen vanuit het middelpunt van de aarde, en toch niet eraf trekken ?

alvast bedankt!

Erik van Munster reageerde op zaterdag 12 mei 2018 om 16:22
Gevraagd wordt de hoogte van de satelliet boven het aardoppervlak. De r die in de formule voorkomt en die je uitrekent is altijd de afstand tussen de middelpunten. De 42230 km waar je op uitkomt is dus afstand van de satelliet tot het middelpunt van de aarde. Het aardoppervlak bevindt zich op 6371 km vanaf het middelpunt van de aarde. Er wordt gevraagd hoe hoog de satelliet zich bevindt boven het aardoppervlak. Omdat het aardoppervlak zich al 6371 km 'boven' het middelpunt bevindt is de hoogte van de satelliet ten opzichte van het oppervlak minder dan 42230 km. Je moet de straal van de aarde hier dus vanaf trekken.


Esmee Dijkstra vroeg op zondag 14 mei 2017 om 15:41
In het correctievoorschrift bij vraag 5 staat: 'omdat geldt voor r = Ra + h, levert dit'
Ik snap niet wat ze bedoelen met deze regel, zou u dat toe kunnen lichten?

Erik van Munster reageerde op zondag 14 mei 2017 om 15:45
Als je r hebt bepaald heb je de afstand van de satelliet tot het middelpunt van de aarde bepaald. Maar ze vragen de hoogte van de satelliet boven het aardoppervlak (h). Om deze hoogte te bepalen moet je de straal van de aarde (Ra) er nog af halen. Er geldt namelijk

r = Ra + h

en de voor de hoogte (h) geldt dus

h = r - Ra

Esmee Dijkstra reageerde op zondag 14 mei 2017 om 15:51
Dankuwel!


Op zaterdag 13 mei 2017 om 20:27 is de volgende vraag gesteld
Hallo,

Ik snap het antwoord van opgave 7 de tweede punt niet. (dm_brandstof =
dW/ verbrandingswarmte).

Kunt u mij uitleggen hoe ze daar opkomen?

W

Erik van Munster reageerde op zaterdag 13 mei 2017 om 21:45
dm_brandstof betekent hoeveel de massa brandstof afneemt. Dit kun je uitrekenen aan de hand van de hoeveelheid energie die verbruikt wordt. Bij de verbranding van een hoeveelheid brandstof geldt voor de energie (zie BINAS tabel 35-A4):

E = rm * m

Met
E = de hoeveelheid energie die vrijkomt (J)
rm = de stookwaarde (J/kg)
m = de massa van de brandstof (kg)

Hier willen we niet de energie weten maar de massa dus moet je de formule omschrijven tot

m = E/rm

Voor E vullen we dW in. Dit is namelijk de hoeveelheid energie (de arbeid die verricht moet worden). En voor rm vullen we de verbrandswarmte in die bij de startwaarden staat (verbrandingswarmte is hetzelfde als stookwaarde). De formule in het model wordt dus

dm_brandstof = dW/ verbrandingswarmte

Op zaterdag 13 mei 2017 om 22:33 is de volgende reactie gegeven
Duidelijk, bedankt!


Op donderdag 11 mei 2017 om 14:39 is de volgende vraag gesteld
Hoi Erik,

Bij het uitwerken van het antwoord kom ik op r^4=(G*M*T^2)/(4pi^2), terwijl het correctiemodel zegt dat het r^3 moet zijn. Kunt u laten zien hoe ze deze afleiding hebben gedaan, want ik kom er niet uit.

Erik van Munster reageerde op donderdag 11 mei 2017 om 15:52
Er zijn verschillende manier waarop je het kunt afleiden. Als je een voorbeeld wilt zien kun je even kijken bij de uitwerkingen van de oefenopgave "Kepler". Dit is opgave 15 van uit het hoofdstuk Cirkelbeweging&GravitatieVWO (via oefenen in het menu hierboven)

https://natuurkundeuitgelegd.nl/uitwerkingen.php?opgave=kepler

Iris Ensink reageerde op vrijdag 12 mei 2017 om 21:13
Dankuwel! Ik heb de fout gevonden


Op maandag 24 apr 2017 om 09:33 is de volgende vraag gesteld
Hai Erik, ik kom niet uit met de formule werk bij opgave 5. Zou u het kunnen uitschrijven hoe ze van de Fg=Fmpz + baansnelheid tot de formule komen waarbij je alleen nog hoeft in te vullen?

Erik van Munster reageerde op maandag 24 apr 2017 om 10:26
De hele afleiding van Fgrav = Fmpz tot en met de formule voor de cirkelbaan van Kepler zoals die in BINAS staat kun je vinden bij de uitwerking van opgave 15 in het hoofdstuk "Cirkelbeweging&Gravitatie VWO" (via oefenen in het menu hierboven of de link hieronder).

https://natuurkundeuitgelegd.nl/uitwerkingen.php?opgave=kepler