Inloggen

Sirius B als Quantumsysteem
VWO 2017, 1e tijdvak, opgave 3


Download hierboven de originele pdf van het examen waar deze opgave in staat en de bijbehorende uitwerkbijlage. "Sirius B als Quantumsysteem" is de 3e opgave in dit examen. Als je de opgave gemaakt hebt kun je jezelf nakijken met het correctievoorschrift.

Uitleg bij "Sirius B als Quantumsysteem"

Probeer altijd eerst zelf de opgave te maken en gebruik de uitleg alleen als je er zelf niet uitkomt. Als je ook na deze uitleg nog vragen hebt dan kun je deze helemaal onderaan deze pagina stellen.

Vraag 11

Als we aannemen dat Sirius B zich als zwarte straler gedraagt kunnen we de temperatuur uitrekenen met de wet van Wien. Voor de temperatuur vinden we dan

T = kW / λmax

De constante van Wien vinden we in BINAS tabel 7 en de golflengte waarbij de intensiteit maximaal is staat in de vraag. We vinden dan

T = 2,89777·10-3 / 115·10-9 = 25198 K

Afgerond is dit 2,52·104 K.

Vraag 12

  • Sirius B bestaat voornamelijk uit de stoffen 126C, 168O en 42He. Voor al deze stoffen geldt dat het massagetal twee keer zo groot is als het ladingsgetal. Bij een atoom is het ladingsgetal gelijk aan het aantal elektronen en is het massagetal het aantal kerndeeltjes (protonen en neutronen bij elkaar). Er zijn dus in totaal twee keer zoveel kerndeeltjes als elektronen.
  • In de vraag staat dat Sirius B ongeveer even zwaar is als de zon. In BINAS tabel 32 C vinden we voor de zon een massa van 1,9884·1030 kg. Aangezien deze massa veroorzaakt wordt door de in Sirius B aanwezige kerndeeltjes kunnen we het aantal kerndeeltjes in Sirius B uitrekenen. Uitgaande van een gemiddelde massa per kerndeeltje van 1,67·10-27 kg (BINAS tabel 7) vinden we

    Nkerndeeltje = 1,9884·1030 / 1,67·10-27 = 1,191·1057

    Het aantal elektronen is de helft hiervan en we vinden dan voor het aantal elektronen

    Ne = ½·1,191·1057 = 5,953·1056

    Dit komt heel goed overeen met het aantal wat in de vraag gegeven wordt (6·1056)

Vraag 13

Het totale volume van Sirius B van 8,1·1020 m3 wordt gedeeld door 6·1056 elektronen. Per elektron is er dus een ruimte beschikbaar van

8,1·1020 / 6·1056 = 1,35·10-36 m3

Als we ons dit even voorstellen als een klein kubusje met in het midden van ieder kubusje een elektron dan is de afstand tussen een elektron en zijn naaste buur (d) gelijk aan de zijden van het kubusje. Uit Volume = l·b·h volgt dat de lengte van de zijde van een kubus gelijk is aan de derdemachtswortel van het volume.

d = 3√1,35·10-36 = 1,105·10-12 m

Dit komt overeen met de in de vraag genoemde gemiddelde afstand van 1·10-12 m.

Vraag 14

  • Voor een ééndimensionale energieput geldt dat de brogliegolven van de deeltjes in de energieput zich gedragen als staande golven binnen de put. Hiervoor geldt dat er precies een héél aantal halve golflengtes in de put passen. Voor staande golven geldt dus

    L = ½·n·λ

    Hieruit volgt voor de brogliegolflengte

    λB = 2L / n

  • Bij n=1 past er één halve golflengte in de put, bij n=2 passen er twee halve golflengtes in de put. Er geldt dus: Hoe groter n hoe kleiner de golflengte wordt. De kleinste golflengte komt dus overeen met het grootste kwantumgetal n. In de opgave staat gegeven dat nmax gelijk is aan 8,4·1018. Bij L = 5,8·106 m vinden we dus door het invullen van bovenstaande formule

    λB = 2 · 5,8·106 / 8,4·1018 = 1,381·10-12 m

  • Om te bepalen of iets zich als een klassiek of een quantumsysteem gedraagt, oftewel of we de elektronen als deeltjes of golven moeten zien, moeten we kijken naar de golflengtes van de brogliegolven: Als geldt dat de golflengte van dezelfde orde van grootte of groter is dan de afmetingen binnen het systeem geldt dat er quantumeffecten optreden. De kleinste golflengte is al vergelijkbaar met de gemiddelde afstand tussen de elektronen (zie vorige vraag). Voor de kleinere quantumgetallen zal de golflengte nog véél groter zijn. Er geldt dus dat de golflengtes groter zijn dan de afmetingen en we mogen Sirius B zeker beschouwen als een quantumsysteem

Vraag 15

  • Omdat de golven steeds in de put moeten passen zal de golflengte kleiner worden als de put kleiner wordt. Uit de formule van de Broglie (λ = h/p, BINAS tabel 35-E4) zien we dat een kleinere golflengte een grotere impuls betekent en dus ook een grotere kinetische energie. We kunnen het ook aan de formule voor een ééndimensionale energieput zien (BINAS tabel 35-E4)

    En = n2h2 / (8mL2)

    Omdat L hier in de noemer staat geldt dat de energie zal toenemen bij afnemende L.
  • Instorten betekent dat de straal kleiner wordt. Ek,Q zal hierbij toenemen. Dit betekent dat er energie nodig zal zijn om de ster te laten instorten. De grafiek van Ek,Q loopt steeds steiler naarmate r afneemt. Dit betekent dat er ook steeds meer energie nodig zijn zal en dat het dus steeds meer moeite zal kosten om de ster te laten krimpen.
  • De enige manier waarop de benodigde energie kan worden verkregen is uit de gravitatie-energie. Deze neemt namelijk af naarmate de ster instort. De gravitatie-energie zo die vrijkomt wordt gebruikt om de toenemende Ek,Q te compenseren. Dit gaat goed zolang de afname van de gravitatie-energie groter is dan de toename in Ek,Q. Op het moment dat de toename van Ek,Q sneller verloopt dan de afname van de gravitatie-energie zal het instorten van Sirius B stoppen. Op dit punt is de optelsom (Etot) van de energiën minimaal. In de grafiek is af te lezen dat het minumum van Etot ligt rond r = 6·106 m.


Vraag over "Sirius B als Quantumsysteem"?


    Hou mijn naam verborgen

Eerder gestelde vragen | Sirius B als Quantumsysteem

Op zondag 25 mrt 2018 om 13:53 is de volgende vraag gesteld
Waarom neemt Ek,Q toe als de straal kleiner wordt?
Ik snap dat hele proces van instorten en zwaartekracht niet zo goed. Kunt u dat uitleggen hoe dat precies nou in zijn werk gaat en waarom, om een beter beeld te krijgen? "op het moment dat de toename van Ek,q sneller verloopt dan de afname van de gravitatie-energie zal het instorten van sirius B stoppen" Dit gedeelte snap ik ook niet helemaal, en gebeurd dit niet al wanneer de straal 5 is?

Erik van Munster reageerde op zondag 25 mrt 2018 om 14:13
Elke ster of planeet wordt door zwaartekracht in elkaar gedrukt. Op aarde worden alleen voorwerpen op het aardoppervlak gedrukt door de zwaartekracht. Instorten is wat er gebeurd als deeltjes waaruit een ster bestaat níet stevig genoeg zijn om dit tegen te houden. De ster schrompelt hierbij in elkaar tot een klein bolletje. Hiervoor is veel energie nodig en deze energie komt uit de gravitatie-energie. Deze gravitatie energie wordt hierbij omgezet in een andere energiesoort. Dit is meestal warmte en in dit geval (Sirius B) gaat de energie zitten in de kinetische energie van de elektronen. Dus

Egrav --> Ekin,e

Eigenlijk is het dus een energieomzetting zoals je die ook kent van het onderwerp "energie & arbeid". Net zoals overal geldt ook hier de wet van behoud van energie.

Erik van Munster reageerde op zondag 25 mrt 2018 om 14:18
Op het moment dat het toenamen van Ekin,e méér energie kost dan het kleiner worden van Eg stopt het instorten omdat hier geen energie meer voor is. Dit is het moment dat de totale energie minimaal is. In de grafiek in de bijlage is te zien waar dit minimum ligt. Het is niet heel duidelijk te zien maar te zien is wel dat het minimum in de buurt van 6,0*10^6 m ligt. Als je hier 5,0*10^6 m hebt wordt het trouwens ook goed gerekend want er is een marge van 1,0*10^6 m vanwege deze onduidelijkheid.

Op maandag 26 mrt 2018 om 22:34 is de volgende reactie gegeven
Ik snap het eerlijk gezegd nog steeds niet. Op het begin is de Ek toch groter dan de Eg? Ik zie Bij Eg-50 en bij Ek zie ik 60 Joule. Dus dan zou hij toch überhaupt niet kunnen instorten? En wat bedoelt u met het moment dat de totale energie minimaal is?

Erik van Munster reageerde op dinsdag 27 mrt 2018 om 10:11
Het gaat er niet om Ek en Eg zelf maar om de VERANDERING in energie. Je moet dus kijken naar hoe steil de grafiek van Eg en Ek lopen. Als de toename in Ek groter is dan de afname in Eg zal het instorten stoppen. Dit is in de grafieken van Ek en Eg niet eenvoudig af te lezen. Je zou dan heel nauwkeurige raaklijnen moeten tekenen. Vandaar dat ze ook Etot in de grafiek hebben gezet. Deze loopt namelijk horizontaal op het punt waar Ek en Eg hetzelfde hellingsgetal hebben.

Op dinsdag 27 mrt 2018 om 18:31 is de volgende reactie gegeven
Ik snap het al iets beter dank u. Maar dat gedeelte van de "verandering" is me niet helemaal duidelijk. Ik blijf maar denken dat hij kan krimpen zolang Eg groter is dan Ek. Dus tot Etot=0. Kunt u mij een duiderlijker beeld geven over dit gedeelte? En hoe ik er in het vervolg anders naar zou moeten kijken.

Erik van Munster reageerde op dinsdag 27 mrt 2018 om 18:37
Is ook lastig en moeilijk voor te stellen. Ik kan me herinneren dat weinig leerlingen deze opgave in het examen van vorig jaar helemaal goed hadden.

Zolang de afname Eg bij dalende r groter is dan de toename in Ek bij dalende r kan de ster blijven krimpen. En dit betekent dat hij krimpt totdat Etot=constant. De absolute waarde van Eg en Ek doen dus eigenlijk niet terzake.

Overigens is het bij energie altijd zo dat het gaat om de verandering van de ene situatie naar de andere en nooit om de waarde van de energie zelf.


Isa Zwart vroeg op dinsdag 20 mrt 2018 om 10:46
Hi Erik,
Ik snap het antwoord op vraag 14c niet goed: of het klassiek of een quantumsysteem is. Wat bedoelt u met de afmetingen binnen het systeem?

Erik van Munster reageerde op dinsdag 20 mrt 2018 om 12:32
Elektronen kunnen deeltjes (klassiek) of golven (quantum) zijn. De verschijnselen die optreden als elektronen quantumdeeltjes zijn, zijn bv buiging en interferentie, net als licht, maar bijvoorbeeld ook het optreden van lijnenspectrum.

Stel dat een deeltje op een muur met een opening daarin valt. Of iets zich als quantumsysteem (golf) gedraagt hangt af van de grootte van de opening. Als deze kleiner is dan de golflengte is het een quantum, anders klassiek.

Nou is Sirius B natuurlijk geen muur met openingen dus wordt in plaats hiervan de afstand tussen twee elektronen als "opening" gezien waar een ander elektron doorheen moet vliegen. Als deze "opening" veel groter zou zijn dan de golflengte van de elektronen zijn het klassieke deeltjes, maar dat is hier dus niet zo.


Op donderdag 18 jan 2018 om 14:03 is de volgende vraag gesteld
Beste Erik,
Ik begrijp dat de kerndeeltjes de massa bepalen, maar waarom moet je uitgaan van een gemiddelde massa per kerndeeltje van 1,67·10-27 kg ?

Erik van Munster reageerde op donderdag 18 jan 2018 om 16:04
Staat in BINAS tabel 7: Hier vind je de massa's van de kerndeeltjes (proton en neutron). Het gemiddeld is afgerond 1,67*10^-27 kg.