Inloggen

Trillingen binnen een molecuul
VWO 2016, 1e tijdvak, opgave 4


Download hierboven de originele pdf van het examen waar deze opgave in staat en de bijbehorende uitwerkbijlage. "Trillingen binnen een molecuul" is de 4e opgave in dit examen. Als je de opgave gemaakt hebt kun je jezelf nakijken met het correctievoorschrift.

Uitleg bij "Trillingen binnen een molecuul"

Probeer altijd eerst zelf de opgave te maken en gebruik de uitleg alleen als je er zelf niet uitkomt. Als je ook na deze uitleg nog vragen hebt dan kun je deze helemaal onderaan deze pagina stellen.

Vraag 16

In BINAS tabel 35-B1 vinden we de formule voor een klassiek massa-veersysteem

T = 2π·√(m/C)

voor de veerconstante volgt hieruit

C = 4π2·m / T2

Voor de trillingstijd T geldt T = 1/f. Invullen in bovenstaande formule geeft

C = 4π2·m·f2

De massa van een waterstofatoom vinden we in BINAS tabel 35: 1,0078 u. Een atomaire massaeenheid (u) is 1,66054·10-27 kg (BINAS tabel 7). Dit geeft een massa van 1,6735·10-27 kg. Invullen samen met de in de vraag gegeven frequentie vinden we dan

C = 4π2 · 1,6735·10-27 · (6,92·1013)2

C = 316,3717 Nm-1

Afgerond is dit 316 Nm-1.

Vraag 17

  • Een waarschijnlijkheidsverdeling geeft de kans aan om een deeltje op een bepaalde plaats aan te treffen. Een hoge waarde van P(u) bij een bepaalde u geeft dus aan dat de kans om het deeltje daar aan te treffen groot is. Bij een harmonische trilling is de beweging sinusvormig. De grafiek loopt het steilst op het moment dat het deeltje door de evenwichtstand gaat wat aangeeft dat de snelheid van het deeltje hier het hoogst is. Bij de uiterste standen (u = +/- A) is de grafiek afgerond. De snelheid neemt hier af, is even nul en beweegt daarna de andere kant op. Hoe groter de snelheid op een bepaalde plaats hoe korter de tijd dat een deeltje zich daar bevindt en hoe kleiner de kans om een deeltje bij een meting op dit plaats aan te treffen. Omgekeerd is bij een lage snelheid de kans om het deeltje daar aan te treffen juist groter. Vandaar dat de grafiek van de waarschijnlijkheids verdeling laag is rond de evenwichtsstand (hoge snelheid) en hoog is aan de randen (lage snelheid).
  • De energie van het systeem wordt groter als de amplitude van de trilling toeneemt. Hierdoor zal de waarschijnlijkheidsverdeling breder worden omdat er nu ook een kans is het deeltje verder weg van de evenwichtsstand aan te treffen. Tegelijkertijd zal de grafiek minder hoog worden omdat de totale kans om het deeltje ergens aan te treffen (het oppervlak onder de grafiek) gelijk moet blijven. Het breder worden moet dus gecompenseerd worden door een minder hoge grafiek.

Vraag 18

  • In het spectrum is te zien dat de frequenties van de spectraallijnen onderling veelvouden zijn. De frequentie van lijn B is twee keer zo groot als de frequentie van lijn A en de frequentie van lijn C is drie keer zo groot als de frequentie van lijn A. Omdat de energie rechtevenredig is met de frequentie (Ef = h·f) betekent dit dat in het energiediagram de afstand van de 2e aangeslagen toestand tot de grondtoestand 2 keer zo groot is als de afstand van de 1e aangeslagen toestand tot de grondtoestand. De afstand van de 3e aangeslagen toestand tot de grondtoestand is 3 keer zo groot. Er zijn dus in totaal 3 niveau's waarbij de onderlinge afstand tussen de niveaus steeds gelijk is. Precies zoals in figuur 3
  • E1 - E0 komt overeen met de kleinste sprong in energie en dus met de laagste frequentie in het spectrum (lijn A). Aflezen geeft een frequentie van 0,68·1014 Hz. Met Ef = h·f kunnen we de bijbehorende fotonenergie berekenen. De constante van Plack (h) vinden we in BINAS tabel 7: 6,626·10-34 Js. Invullen geeft voor de energie

    E = 6,626·10-34 · 0,68·1014 = 4,506·10-20 J

    Gevraagd wordt de energie in elektronvolt. In BINAS tabel 5 vinden we dat 1 eV = 1,602·10-19 J. Omrekenen geeft een energie van

    E (in eV) = 4,506·10-20 / 1,602·10-19 = 0,2812 eV

    Afgerond is dit 0,28 eV
  • Lijn B in het spectrum correspondeert met een 2 keer zo hoge frequentie als lijn A en dus ook met een twee keer hogere energie dan de overgang die we in de vorige vraag hebben berekend. Het gaat dus om een overgang over twee niveaus. Dit betekent een overgang tussen de niveaus n=0 en n=2 of tussen de niveaus n=1 en n=3. In de uitwerkbijlgae hieronder hebben we de overgang van n=3 naar n=1 getekend.

Vraag 19

  • In BINAS tabel 35-E4 vinden we de formule voor de energieniveaus in een energieput met oneindig hoge wanden

    En = n2h2 / 8mL2

    Hieruit blijkt dat de energie evenredig is met n2. Er geldt dus En ∝ n2. Een grafiek met horizontaal n en verticaal En zal de vorm van een steeds steiler lopende parabool hebben. De niveaus zullen dus bij stijgende n steeds verder uit elkaar komen de liggen. Zie afbeelding hieronder.
  • In BINAS tabel 35-E2 vinden we de formule voor de energieniveaus in een waterstofatoom

    En = 13,6 eV / n2

    Hieruit blijkt dat de energie evenredig is met 1/n2. Er geldt dus En ∝ -1/n2. In BINAS tabel 21A is te zien dat in een waterstofatoom het omgekeerde geldt als voor een energieput: De niveaus komen bij stijgende n juist dichter bij elkaar te liggen. Zie afbeelding hieronder.
  • In het model voor HI in deze vraag liggen de niveaus op gelijke afstanden van elkaar. Zowel de energieput als het waterstofatoom zijn hiermee niet in overeenstemming.

    Vraag 20

    De onzekerheidsrelatie van Heisenberg vinden we in BINAS tabel 35-E4

    Δx·Δp > h/4π

    Voor de impuls geldt p = m·v. Als het waterstofatoom stil zou staan zou de impuls (p) gelijk aan 0 zijn. Dit betekent dat ook de onzekerheid in de impuls (Δp) 0 wordt. Dit kan niet volgens bovenstaande formule tenzij de onzekerheid in de plaats Δx oneindig zou worden maar dat zou betekenen dat het H-atoom niet meer in het molecuul zou zitten. Het waterstofatoom kan dus niet tegelijkertijd én stilstaan én zich nog in het HI molecuul bevinden.


    trillingenbinneneenmolecuul-1

    Vraag over "Trillingen binnen een molecuul"?


        Hou mijn naam verborgen

    Eerder gestelde vragen | Trillingen binnen een molecuul

    Op maandag 6 aug 2018 om 21:06 is de volgende vraag gesteld
    Beste meneer van Munster,

    De tweede vraag van opgave 17 is mij nog niet duidelijk over de totale energie. Ik heb het ook even in mijn boek gezocht.

    1. Maar ik kon nergens vinden dat de oppervlakte onder de P(u)-grafiek niet groter dan 1 worden, want de oppervlakte heeft een waarde van 1? In een examenbundel stond als uitwerking. 2. De oppervlakte mag niet groter dan 1 worden. Omdat de kans om het waterstofatoom ergens in de put aan te treffen is 1?

    Beide beweringen komen voor mij een beetje uit de lucht vallen en ik kon het nergens in mijn boek vinden... Alvast bedankt!

    Erik van Munster reageerde op maandag 6 aug 2018 om 22:44
    De y-as van de P,u-grafiek geeft de kans om het deeltje daar aan te treffen. Stel bv dat bij een bepaalde u-waarde P gelijk is aan 0,05. Dan betekent dit dat er een kans van 0,05 op 1 is om het deeltje daar aan te treffen (5% kans dus). Omdat het deeltje in het molecuul zit opgesloten is de kans om het deeltje ergens binnen het molecuul aan te treffen gelijk aan 1 (100% kans). Vandaar dat het totaal van alle p-waarden op 1 moet uitkomen en vandaar dat de oppervlakte onder de grafiek gelijk moet zijn aan 1.

    Op maandag 6 aug 2018 om 23:44 is de volgende reactie gegeven
    Oooh bedankt voor uw uitleg! Ik snap het! Is het eigenlijk ook 1 als het deeltje niet ergens in opgesloten zit? Of dat niet te bepalen en is dit speciaal alleen voor een 'deeltje in een doos'.

    Op dinsdag 7 aug 2018 om 00:18 is de volgende reactie gegeven
    Deze opmerking bij opgave 20 vat ik niet helemaal: 'Dit kan niet volgens bovenstaande formule tenzij de onzekerheid in de plaats Δx oneindig zou worden maar dat zou betekenen dat het H-atoom niet meer in het molecuul zou zitten. Het waterstofatoom kan dus niet tegelijkertijd én stilstaan én zich nog in het HI molecuul bevinden.'

    Als Δx oneindig is dan weet je toch niet waar die is, want de onzekerheid is dan oneindig groot. Dus dan weet je toch wel de snelheid? Daar is de onzekerheid oneindig klein, de onzekerheid is dan bijna 0. Waarom zou hij dan niet meer in het molecuul bevinden?

    Erik van Munster reageerde op dinsdag 7 aug 2018 om 16:29
    Dat het oppervlak onder een kansverdeling P(u) 1 is geldt altijd. Voor een niet opgesloten deeltje zal de grafiek wel oneindig breed zijn en de waarbij van P dus oneindig klein (maar niet 0!) zodat het oppervlak wel 1 blijft.

    Erik van Munster reageerde op dinsdag 7 aug 2018 om 16:35
    Over opgave 20: Δx is de onzekerheid in de plaats. Als Δx klein is betekent het dat je weet wat het deeltje zich op een bepaald klein gebiedjes bevindt, bijvoorbeeld, zoals hier, binnen het molecuul. Als Δx groot is betekent het dat het deeltje zich over een heel groot gebied kan bevinden. Dit betekent dat je niet meer met zekerheid kunt zeggen dat het deeltje zich binnen met molecuul bevindt. Het kan zich overal bevinden en dus kun je niet meer zeggen dat het deeltje zich in het molecuul bevindt.

    Op woensdag 8 aug 2018 om 19:08 is de volgende reactie gegeven
    Ik snap mijn vragen. Danku wel!


    Op vrijdag 18 mei 2018 om 20:13 is de volgende vraag gesteld
    Beste Erik,

    Laatste oprdracht van 18. Ik kan me vinger er nog niet exact opleggen. Hoe komt het dat het energieniveau een verschil moet hebben van n=2? Want een verschil van n=1 (1 overgang) geeft toch al eigenlijk het dubbele energieniveau weer?

    Erik van Munster reageerde op vrijdag 18 mei 2018 om 23:03
    De laatste opdracht bij vraag 18 gaat over spectraallijn B. Deze heeft een twee keer zo hoge frequentie als lijn A en dus ook een twee keer zo hoge energie. De energie heeft te maken met de grootte van de sprong die gemaakt wordt. Daarom weet je dat dit een sprong moet zijn die niet over één niveau gaat maar over twee niveaus. Vandaar de overgang van n=3 naar n=1 of van n=2 naar n=0.

    Op zaterdag 19 mei 2018 om 02:28 is de volgende reactie gegeven
    Dank voor uw reactie! Als ik me niet vergis heeft u volgensmij over mijn andere vraag heen gelezen die ik hieronder heb gesteld.

    Erik van Munster reageerde op zaterdag 19 mei 2018 om 11:47
    Een verschil van 1 niveau is de kleinste sprong in energie die er mogelijk is hier. Dit komt overeen met één keer de energie en dus met lijn A. Een verschil van 2 niveaus is twee keer de energie en dus lijn B. En een verschil van 3 niveaus is drie de energie en dus lijn C. Even op een rijtje waar alle spectraallijnen bij horen:

    Lijn A:
    n=1 naar n=0
    n=2 naar n=1
    n=3 naar n=3

    lijn B:
    n=2 naar n=0
    n=3 naar n=1

    Lijn C
    n=3 naar n=0

    Erik van Munster reageerde op zaterdag 19 mei 2018 om 11:55
    (de laatste bij lijn A moet n=3 naar n=2 zijn :)


    Op vrijdag 18 mei 2018 om 20:02 is de volgende vraag gesteld
    Beste Erik,

    Het laatste gedeelte van vraag 17 is mij niet duidelijk. Kunt u mij uitleggen wat er bedoelt wordt met " de totale energie van het systeem groter wordt". En waarom wordt de amplitude dan vervolgens automatisch groter? En hoe komt het dat de oppervlakte onder de grafiek gelijk moet blijven, en waarom moet dit gecompenseerd worden met de hoogte?


    Thomas Rous vroeg op vrijdag 6 apr 2018 om 20:28
    Beste Erik,

    Is de grondtoestand nou altijd n=o of (soms) n=1? Ik heb het idee dat in mijn schoolboek de grondtoestand vaak staat aangeduid als n=1.

    Ik hoor het graag van u!

    Erik van Munster reageerde op zaterdag 7 apr 2018 om 12:06
    Het getal n is niet echt een natuurkundige grootheid met een bepaalde betekenis en eenheid. Het is een nummering die gebruikt wordt om de verschillende niveau's van elkaar te kunnen onderscheiden. In principe kun je zelf bepalen welk nummer je aan welk niveau geeft. Meestal wordt het grondniveau aangeduid met n=1 en loopt n op bij de aangeslagen toestanden (n=2,3,4...) maar soms krijgt het laagste niveau als nummer n=0. Uit de opgave wordt meestal wel duidelijk hoe de nummering loopt. Het is wel belangrijk om bij je antwoorden dezelfde nummering te gebruiken zoals die ook in de opgave gehanteerd wordt.