Inloggen

Ukelele
vwo 2015, 2e tijdvak, opgave 3


Download hierboven de originele pdf van het examen waar deze opgave in staat en de bijbehorende uitwerkbijlage. "Ukelele" is de 3e opgave in dit examen. Als je de opgave gemaakt hebt kun je jezelf nakijken met het correctievoorschrift.

Uitleg bij "Ukelele"

Probeer altijd eerst zelf de opgave te maken en gebruik de uitleg alleen als je er zelf niet uitkomt. Als je ook na deze uitleg nog vragen hebt dan kun je deze helemaal onderaan deze pagina stellen.

Vraag 11

Bij golven geldt voor het verband tussen de golflengte, frequentie en golfsnelheid (zie BINAS tabel 35-B2)

v = f·λ

De golflengte (λ) van een staande golf in een snaar wordt bepaald door de lengte van de snaar. Omdat de snaren allemaal even lang zijn betekent dit dat de golflengte in elk van de 4 snaren gelijk is. Aangezien de frequenties (f) van de voortgebrachte tonen verschillen betekent dit dat de golfsnelheid (v) voor de 4 snaren moet verschillen.

Vraag 12

Voor staande golven in een snaar geldt dat de boventoonfrequenties steeds een veelvoud zijn van de grondtoon. Bij een grondtoonfrequentie van fgrond zijn de frequentie van de grondtoon en de boventonen achtereenvolgens

fgrond, 2·fgrond, 3·fgrond, 4·fgrond etc...

Als je op deze manier de frequenties van snaar 3 (330 Hz) en snaar 4 (440 Hz) uitschrijft krijg je achtereenvolgens (in Hz)

snaar 3: 330, 660, 990, 1320, ...
snaar 4: 440, 880, 1320, 1760, ...

De laagste gemeenschappelijke boventoon is dus 1320 Hz.

Vraag 13

Uit de lengte van de snaar (35 cm) en de het feit dat de snaar 1,0 cm omhoog getrokken wordt kun je de hoek α berekenen (zei afbeelding hieronder in het groen). Er geldt

tan α = 1,0 cm / ½·35 cm = 0,057143

α = tan-1 0,057143 = 3,2705°

Beide spankrachten kun je ontbinden in een x-component en een y-component. De x-componenten van de twee spankrachten zijn tegengesteld en zullen elkaar opheffen. De y-componenten wijzen allebei naar beneden en moeten met zijn tweeén de trekkracht van 3,8 N compenseren. Fspan,y is dus gelijk aan ½·3,8 = 1,9 N. Vanuit hoek α gezien is Fspan,y de overstaande zijde en Fspan de aanliggende zijde. Er geldt dus

sin α = Fspan,y / Fspan

Je vind dan voor de spankracht

Fspan = Fspan,y / sin α = 1,9 / sin 3,2705 = 33,3041 N

Afgerond is dit 33 N.

Vraag 14

De snaren staan straks gespannen op de ukelele. Dit betekent dat als Camiel de snaar niet omhoog trekt en de hoek 0° is, er nog steeds spankracht is. De grafiek loopt dus niet door de oorsprong.

De lijn die bij een grafiek hoort vind je door een vloeiende kromme te tekenen die zo goed mogelijk bij de meetpunten past. Zie afbeelding hieronder. De kromme snijdt de y-as bij een spankracht van 27 N.

Vraag 15

Als je μ = m/L invult in de in de vraag gegeven formule krijg je v = √ F·L /m . Hieruit volgt voor de grootte van de spankracht

F = m · v2 / L

Voor de golfsnelheid geldt (zie BINAS tabel 35-B2) v = f·λ. Invullen in bovenstaande formule geeft

F = m · f2 · λ2 / L

De massa van de snaar kun je berekenen aan de hand van de dichtheid (ρ). Hierbij geldt m = ρ·V. Het volume (V) van de snaar is de lengte (L) keer het oppervlak van de doorsnede. Dit oppervlak is gelijk aan πr2 = π(½·d)2. Voor de massa m vind je dan

m = ρ · L · π(½·d)2

m = ρ · L · π · ¼ ·d2

Als je dit invult vind je voor de spankracht

F = ρ · L · π · ¼ ·d2 · f2 · λ2 / L

F = ρ · π ·d2 · f2 · λ2 / 4

Vraag 16

Eerder in de opgave staat dat alle snaren zijn gemaakt van nylon. In BINAS tabel 10A vind je de dichtheid van nylon (ρnylon = 1140 kg m-3). In de grondtoon past er precies een halve golf op de snaarlengte van 35 cm. De golflengte is dus 2·0,35 = 0,70 m. Je vult in in de formule

λ = 0,70 m
f = 392 Hz (snaar 1 uit tabel)
d = 0,65·10-3 m
ρ = 1140 kg m-3

en vindt dan

F = 0,702 · 3922· π · (0,65·10-32 · 1140 / 4

F = 28,4833 N

Afgerond is dit een spankracht van 28 N.

Vraag 17

De hoogste snaar van een klassieke gitaar is 64,5 cm / 35 cm = 1,8428 keer zo lang als de hoogste snaar van een ukelele. Dit betekent dat ook de golflengte (λ) 1,8428 keer zo groot zal zijn. Uit de formule blijkt dat de spankracht kwadratisch evenredig met de golflengte is. Bij gelijke dichtheid (ρ), dikte (d) en frequentie (f) van de snaar geldt dus dat de spankracht in een klassieke gitaar 1,84282 = 3,3961 keer zo groot zal zijn als de spankracht in een ukelelesnaar. Afgerond geldt dus

Fgitaar / Fukelele = 3,40.


ukelele-1

ukelele-2

Vraag over "Ukelele"?


    Hou mijn naam verborgen

Eerder gestelde vragen | Ukelele

Op woensdag 23 mei 2018 om 17:02 is de volgende vraag gesteld
Hallo,

Ik snap niet waarom je 1,9 neemt ipv van 3,8, want er werkt toch maar 1 Fy kracht omlaag?

Bijvoorbaat dank

Erik van Munster reageerde op woensdag 23 mei 2018 om 17:17
In het tekeningetje hierboven staat alleen de spankracht naar rechts getekent. Maar er is ook (niet in de tekening) een even grote spankracht naar links. De kracht van 3,8 N is de optelsom van de twee span,y-krachten. Vandaar dat de grootte van één Fspan,y de helft hiervan is.


Op woensdag 9 mei 2018 om 12:22 is de volgende vraag gesteld
Hallo,
Ik heb een vraag bij vraag 13. Waarom wordt de berekende spankracht niet vermenigvuldigt met 2? Ik dacht namelijk dat de halve F trek van 1 kant van de snaar kwam, en dus de totale Fspan= Fspan,links + Fspan,rechts. Want Fspan,y = 3,8 N, daarvan komt 1,9 N van de linkerkant en 1,9 N van de rechterkant. Ik heb nu het idee dat slechts de kracht van 1 kant is berekend... Waarom is dit dan niet het geval?
Alvast bedankt!

Erik van Munster reageerde op woensdag 9 mei 2018 om 13:29
Spankracht die in een touw of snaar "heerst" is altijd al twee kanten op. Als je de krachten die op een willekeurig stukje snaar werken bekijkt zul een Fspan naar links en een even grote Fspan naar rechts vinden. Omdat deze even groot zijn is het stukje snaar in evenwicht. Kortom: spankracht betekent vanzichzelf al dat het beide kanten op werkt.

Bij deze opgave gaat het alleen om het berekenen van de grootte van deze spankracht. De x-conponenten van de spankracht links en rechts heffen elkaar op (zoals altijd bij spankracht) maar de y-componenten niet. Deze moeten we daarom door twee delen en met 1,9 N verder rekenen.

Als we Fspan eenmaal weten hoef je dus niet nog met 2 te vermenigvuldigen.

Op woensdag 9 mei 2018 om 14:53 is de volgende reactie gegeven
Maar als de krachtmeter niet precies in het midden was geweest, dan had je toch wel iets met linker span en rechter span moeten doen? Die lengte was dan namelijk niet gelijk geweest, en dus zou ik wel Flinks + Frechts doen. Klopt dat dan wel? Ik begrijp niet helemaal waarom dat hier niet moet..

Erik van Munster reageerde op woensdag 9 mei 2018 om 15:35
Ja dat klopt. Als er niet in het midden getrokken zou worden zouden de hoeken links en rechts niet gelijk zijn en zouden de x-componenten ook niet gelijk zijn. De opgave zou dan meteen een stuk ingewikkelder zijn.


Stef Hofman vroeg op donderdag 26 okt 2017 om 17:05
Waarom wordt bij de spankracht van de gitaar 1,8428 met een kwadraat gedaan en niet zonder kwadraat?

Erik van Munster reageerde op vrijdag 27 okt 2017 om 09:37
Dag Stef,

Dat kun je zien aan de formule die je in vraag 15 hebt moeten afleiden:

F = ρ · π ·d^2 · f^2 · λ^2 / 4

De vraag is hoe groot de spankracht (F) wordt als de golflengte (λ) groter wordt bij dezelfde frequentie (f) en snaartype. De grootheden ρ, π, d en f zijn allemaal constant en je houdt dus over

F = constante ·λ^2

In de formule staat λ in het kwadraat. Dit betekent dat als λ 1,8428 keer zo groot wordt, dat de kracht (1,8428)^2 keer zo groot wordt. Hoop dat je hier iets verder mee komt...


Op donderdag 8 jun 2017 om 01:57 is de volgende vraag gesteld
Hallo,

Ik snap niet waarom bij vraag 13, 1/2 trek is genomen?

Erik van Munster reageerde op donderdag 8 jun 2017 om 08:36
Omdat er twee spankrachten zijn (iedere kant op eentje). Elke spankracht compenseert neemt de helft van de trekkracht vandaar de factor 1/2 in de berekening.