Inloggen

De kracht van het viriaal-theorema
VWO 2017, 2e tijdvak, opgave 3


Download hierboven de originele pdf van het examen waar deze opgave in staat en de bijbehorende uitwerkbijlage. "De kracht van het viriaal-theorema" is de 3e opgave in dit examen. Als je de opgave gemaakt hebt kun je jezelf nakijken met het correctievoorschrift.

Uitleg bij "De kracht van het viriaal-theorema"

Probeer altijd eerst zelf de opgave te maken en gebruik de uitleg alleen als je er zelf niet uitkomt. Als je ook na deze uitleg nog vragen hebt dan kun je deze helemaal onderaan deze pagina stellen.

Vraag 12

Voor de gravitatie-energie en de kinetische energie gelden de formules (zie BINAS tabel 35-A4 en A5)

Eg = -G·m·M / r

Ek = ½·m·v2

Als eerste bereken je met de gegevens in de opgave de gravitatie-energie. De massa van de aarde (M) vinden we in BINAS tabel 31 en de gravitatieconstante (G) vinden we in BINAS tabel 7. De afstand (r) van het middelpunt van de aarde tot ISS is de straal van de aarde (6,371·106 m, zie BINAS tabel 31) + de hoogte (409·103 m). Dit is 6,78·106 m. Voor de gravitatie-energie vind je dan

Eg = -6,67·10-11 · 4,19·105 ·5,972·1024 / 6,78·106

Eg = -2,4617·1013 J

Uit de in de opgave gegeven formule (het viriaaltheorema) volgt voor de kinetische energie Ek = -½Eg. Dit betekent dat de kinetische energie gelijk is aan

Ek = -½ · -2,4617·1013 = 1,2309·1013 J

Voor de snelheid vind je dan

v = √Ek/½m

v = √ 1,2309·1013 / ½· 4,19·105 = 7,6651·103 ms-1

Afgerond is dit een snelheid van 7,67·103 ms-1.

Vraag 13

Voor een hemellichaam dat in een cirkelbaan om een ander hemellichaam heen beweegt geldt dat de middelpuntzoekende kracht gelijk is aan de gravitatiekracht tussen de twee hemellichamen. In BINAS tabel 35-A2 en A4 vinden we de bijbehorende formules. Er geldt dus

Fg = Fmpz

G·m·M / r2 = m·v2 / r

Als je beide kanten met r vermenigvuldigt krijg je

G·m·M / r = m·v2

Als je dit vergelijkt met de formules voor de gravitatie- en kinetische energie (zie vorige vraag) zie je dat hier staat

-Eg = 2·Ek

Hieruit volgt dus het viriaaltheorema Eg = -2·Ek.

Vraag 14

Wanneer je de in de opgave gegeven formule voor de gravitatie energie van een verzameling sterrenstelsels en de formule voor de kinetische energie invult in het viriaaltheorema krijg je

-3GM2 / 5R = -2·(½ M·v2)

Hieruit volgt voor de totale massa van het Comacluster

M = v2 · 5R / 3G

Invullen van

v = 1,7·106 ms-1
R = 8,4·1022 m
G = 6,6738·10-11 (BINAS tabel 7)

Geeft M = 6,0625·1045 kg. Van deze totale massa is maar 3,2·1044 kg zichtbaar. Dit betekent dat 6,0625·1045 - 3,2·1044 = 5,7425·1045 kg van de massa uit donker materie bestaat. Dit is gelijk aan

5,7425·1045 / 6,0625·1045 = 0,9472 = 94,72%

Afgerond 95% van de massa van het Comacluster is dus afkomstig van donkere materie.

Vraag 15

De potentiële energie in een heliumatoom is de som van de potentiële energie van de elektronen ten opzichte van de kern en de potentiële energie van de elektronen onderling. Je vind dus een totale potentiële energie van

Ep = Ep,kern + Ep, e-e = -185,9 + 27,9 = -158 eV

Met een kinetische energie van 79,0 eV is dit inderdaad gelijk aan -2·Ek en in overeenstemming met het viriaaltheorema.

De totale energie van de elektronen in een heliumatoom bedraagt -79 eV. De energie die nodig is om deze twee elektronen uit de kern weg te halen (de ionisatie-energie) zou dus 79 eV moeten zijn. In BINAS tabel 21 C is af te lezen dat de totale energie om een heliumatoom helemaal te ioniseren 24,59 eV + 54,40 = 78,99 eV bedraagt. Afgerond is dit 79 eV.

Vraag 16

De ionisatie-energie van waterstof is te vinden in BINAS tabel 21 C of af te lezen uit het energiediagram van waterstof (BINAS tabel 21A). In de grondtoestand is de totale energie ten opzichte van het ionisatieniveau -13,6 eV. Er geldt dus

Ep + Ek = -13,6 eV

Volgens het viriaaltheorema geldt Ep = -2·Ek. Invullen van Ep in bovenstaande vergelijking geeft

-2·Ek + Ek = -13,6 eV

-Ek = -13,6 eV

Ek = 13,6 eV

Voor de potentiele energie vind je dan

Ep = -2·Ek = -27,2 eV

Omdat er maar één elektron in een waterstofatoom zit is de potentiele energie van de elektronen onderling 0 eV en bestaat Ep alleen uit de term Ep kern. Het antwoord wordt dus

Ek = 13,6 eV
Ep,kern = -27,2 eV
Ep,e-e = 0 eV
Etot = -13,6 eV

Vraag over "De kracht van het viriaal-theorema"?


    Hou mijn naam verborgen

Eerder gestelde vragen | De kracht van het viriaal-theorema

Over "De kracht van het viriaal-theorema" zijn nog geen vragen gesteld.