Vraag 12
Voor de
gravitatie-energie en de
kinetische energie gelden de formules (zie BINAS tabel 35-A4 en A5)
E
g = -G·m·M / r
E
k = ½·m·v
2Als eerste bereken je met de gegevens in de opgave de gravitatie-energie. De massa van de aarde (M) vinden we in BINAS tabel 31 en de gravitatieconstante (G) vinden we in BINAS tabel 7. De afstand (r) van het middelpunt van de aarde tot ISS is de straal van de aarde (6,371·10
6 m, zie BINAS tabel 31) + de hoogte (409·10
3 m). Dit is 6,78·10
6 m. Voor de gravitatie-energie vind je dan
E
g = -6,67·10
-11 · 4,19·10
5 ·5,972·10
24 / 6,78·10
6E
g = -2,4617·10
13 J
Uit de in de opgave gegeven formule (het viriaaltheorema) volgt voor de kinetische energie E
k = -½E
g. Dit betekent dat de kinetische energie gelijk is aan
E
k = -½ · -2,4617·10
13 = 1,2309·10
13 J
Voor de snelheid vind je dan
v = √
Ek/½m v = √
1,2309·1013 / ½· 4,19·105 = 7,6651·10
3 ms
-1Afgerond is dit een snelheid van 7,67·10
3 ms
-1.
Vraag 13
Voor een hemellichaam dat in een
cirkelbaan om een ander hemellichaam heen beweegt geldt dat de
middelpuntzoekende kracht gelijk is aan de
gravitatiekracht tussen de twee hemellichamen. In BINAS tabel 35-A2 en A4 vinden we de bijbehorende formules. Er geldt dus
F
g = F
mpzG·m·M / r
2 = m·v
2 / r
Als je beide kanten met r vermenigvuldigt krijg je
G·m·M / r = m·v
2Als je dit vergelijkt met de formules voor de gravitatie- en kinetische energie (zie vorige vraag) zie je dat hier staat
-E
g = 2·E
kHieruit volgt dus het viriaaltheorema E
g = -2·E
k.
Vraag 14
Wanneer je de in de opgave gegeven formule voor de gravitatie energie van een verzameling
sterrenstelsels en de formule voor de kinetische energie invult in het viriaaltheorema krijg je
-3GM
2 / 5R = -2·(½ M·v
2)
Hieruit volgt voor de totale massa van het Comacluster
M = v
2 · 5R / 3G
Invullen van
v = 1,7·10
6 ms
-1R = 8,4·10
22 m
G = 6,6738·10
-11 (BINAS tabel 7)
Geeft M = 6,0625·10
45 kg. Van deze totale massa is maar 3,2·10
44 kg zichtbaar. Dit betekent dat 6,0625·10
45 - 3,2·10
44 = 5,7425·10
45 kg van de massa uit donker materie bestaat. Dit is gelijk aan
5,7425·10
45 / 6,0625·10
45 = 0,9472 = 94,72%
Afgerond 95% van de massa van het Comacluster is dus afkomstig van donkere materie.
Vraag 15
De
potentiële energie in een heliumatoom is de som van de potentiële energie van de elektronen ten opzichte van de kern en de potentiële energie van de elektronen onderling. Je vind dus een totale potentiële energie van
E
p = E
p,kern + E
p, e-e = -185,9 + 27,9 = -158 eV
Met een kinetische energie van 79,0 eV is dit inderdaad gelijk aan -2·E
k en in overeenstemming met het viriaaltheorema.
De totale energie van de elektronen in een heliumatoom bedraagt -79 eV. De energie die nodig is om deze twee elektronen uit de kern weg te halen (de ionisatie-energie) zou dus 79 eV moeten zijn. In BINAS tabel 21 C is af te lezen dat de totale energie om een heliumatoom helemaal te ioniseren 24,59 eV + 54,40 = 78,99 eV bedraagt. Afgerond is dit 79 eV.
Vraag 16
De ionisatie-energie van waterstof is te vinden in BINAS tabel 21 C of af te lezen uit het
energiediagram van waterstof (BINAS tabel 21A). In de grondtoestand is de totale energie ten opzichte van het ionisatieniveau -13,6 eV. Er geldt dus
E
p + E
k = -13,6 eV
Volgens het viriaaltheorema geldt E
p = -2·E
k. Invullen van E
p in bovenstaande vergelijking geeft
-2·E
k + E
k = -13,6 eV
-E
k = -13,6 eV
E
k = 13,6 eV
Voor de potentiele energie vind je dan
E
p = -2·E
k = -27,2 eV
Omdat er maar één elektron in een
waterstofatoom zit is de potentiele energie van de elektronen onderling 0 eV en bestaat E
p alleen uit de term E
p kern. Het antwoord wordt dus
E
k = 13,6 eV
E
p,kern = -27,2 eV
E
p,e-e = 0 eV
E
tot = -13,6 eV