Inloggen

Waterstofatoom
VWO 2016, quantum, opgave 9


Download hierboven de originele pdf van het examen waar deze opgave in staat en de bijbehorende uitwerkbijlage. "Waterstofatoom" is de 9e opgave in dit examen. Als je de opgave gemaakt hebt kun je jezelf nakijken met het correctievoorschrift. Hier vind je de goede antwoorden en de puntentelling.

Kom je er zelf niet uit? Dan kun je hieronder je vraag stellen.

Uitleg bij "Waterstofatoom"

Probeer altijd eerst zelf de opgave te maken en gebruik de uitleg alleen als je er zelf niet uitkomt. Als je ook na deze uitleg nog vragen hebt dan kun je deze helemaal onderaan deze pagina stellen.

Vraag 51

  • In het rekenmodel in figuur 1 wordt in de eerste regel Pstr uitgerekend. Pstr is de hoeveelheid energie die per seconde wordt afgegeven aan de omgeving d.m.v. straling. Pstr is dus het vermogen dat het atoom verliest. Hiervoor geldt (zie BINAS tabel 35-A4)

    P = E/t

    In modelregel 2 wordt de nieuwe totale hoeveelheid energie berekend nadat er energie verloren is gegaan door straling. Uit bovenstaande formule volgt dat afname van de energie in tijdstapje gelijk is aan Pstr · dt

    Modelregel 2 moet dus worden

    Et = Et - Pstr·dt

  • De startwaarde van Et is in dit model negatief. Dit betekent dat het energie kost om het elektron los te maken van de atoomkern. De negatieve waarde geeft dus aan dat het elektron 'vast' zit aan het atoom.
  • De waarde voor startwaarde c2 volgt uit modelregel 3. Uit r = c2/Et volgt

    c2 = r·Et

    De startwaarde voor r is 52,9 pm. Dit is gelijk aan 52,9·10-12 m maar omdat de variabele r in dit model in picometers blijft geldt hier r = 52,9. Samen met de startwaarde voor Et volgt hieruit

    c2 = 52,9 · -2,18·10-18 = 1,1532·10-16

    Afgerond is c2 gelijk aan 1,15·10-16.

Vraag 52

  • In grafiek in figuur 3 staat horizontaal de tijd (t) en verticaal de afstand tussen het elektron en de kern (r). Te zien dat de afstand tussen het elektron en de kern afneemt. Aan het feit dat de grafiek steeds steiler naar beneden loopt kun je afleiden dat de snelheid waarme het elektron naar de kern toe beweegt steeds groter wordt.
  • 1,55·10-11 s is gelijk aan 15,5 ps. In de grafiek is te zien dat r = 0 op dit tijdstip: Het elektron botst hier dus op de atoomkern.

Vraag 53

Het onbepaaldheidsprincipe (ook wel de onzekerheidsrelatie van Heisenberg genoemd) luidt (zie BINAS tabel 35-E4)

Δx·Δp ≥ h/4π

Dit betekent dat de onzekerheid in plaats (Δx) en impuls (Δp) nooit nul kunnen zijn. Het is dus onmogelijk om op een bepaald tijdstip de plaats van het elektron zeker te weten. Het elektron kan zich dus nooit op de plaats van de kern bevinden omdat dit zou betekenen dat de plaats van het elektron wél precies bekend zou zijn. Ook zou het elektron niet 'stil' kunnen liggen op de plaats van de kern omdat dit zou betekenen dat de impuls precies bekend zou zijn (namelijk nul) en Δp gelijk aan 0 zou zijn.

Vraag 54

  • In figuur 4 is te zien dat W bij grote waarde van r inderdaad naar nul gaat maar nooit nul bereikt. Dit is inderdaad een asymptoot en W zal dus nooit nul worden. Maar dit wil niet zeggen dat het oppervlak van de grafiek niet eindig is. Myrthe heeft ongelijk.
  • Een waarschijnlijkheidsverdeling geeft de kans aan om het elektron op een bepaalde afstand r aan te treffen. De totale kans om het deeltje ergens binnen de kern aan te treffen is 1. Dit betekent dat het oppervlak onder de grafiek gelijk moet zijn aan 1. Jim heeft gelijk.
  • De kans om het elektron binnen een gebiedje met breedte 10 pm aan te treffen wordt gegeven door het oppervlak tussen de grafiek en de grenzen van dit gebiedje (zie figuur hieronder links). Dit oppervlak is het grootst als het centrum van het gebiedje bij het maximum ligt (het blauwe balkje in de figuur hieronder). Johan heeft gelijk.
  • Het oppervlak onder de grafiek tussen r=0 en r=a0 is (ongeveer) twee keer kleiner dan het oppervlak onder de grafiek tussen r=a0 en r=∞ (zie figuur hieronder rechts). Dit betekent dat de kans om het deeltje tussen 0 en a0 aan te treffen twee keer kleiner is dan de kans om het deeltje aan te treffen op een afstand groter dan a0. Ingrid heeft gelijk.
  • Wat José klopt eigenlijk niet met wat Ingrid zegt: Als de kans om het deeltje bij r kleiner dan a0 aan te treffen even groot zou zijn als de kans om het deeltje bij r groter dan a0 aan te treffen zouden de oppervlakken onder de grafiek links en recht van a0 even groot moeten zijn. Dit is duidelijk niet zo. José heeft ongelijk.

Vraag 55

In de opgave staat dat we mogen uitgaan van Δp≤p en Δr≤r. Dit betekent dat het product van Δp en Δr ook kleiner is dan het product van p en r. Er geldt dus

Δp·Δr ≤ p·r

De in de opgave gegeven formule kunnen we omschrijven als

p·r = h / 2π

Als je dit invult in bovenstaande formule volgt

Δp·Δr ≤ h / 2π

Volgens Heisenberg moet het product van de onzekerheid in plaats (hier Δr) en de onzekerheid in impuls (Δp) altijd groter zijn dan h/4π. Hieraan wordt voldaan als Δp·Δr tussen h/4π en h/2π in ligt.

Vraag 56

In de opgave staat een formule voor de impuls van het elektron als functie van de afstand tot de kern in het waterstofatoom. We willen echter een formule voor de kinetische energie. Uit de formule voor kinetische energie kunnen we het verband tussen kinetische energie en impuls afleiden. De formule voor kinetische energie vinden we in BINAS tabel 35-A4:

Ek = ½·m·v2

Uit de formule voor impuls (p=m·v) volgt

p2 = m2·v2

Wanneer we bovenstaande formules combineren vinden we

Ek = ½·p2/m = p2 / 2m

Wanneer we hier de in de opgave gegeven formule voor de impuls invullen (p = h / 2πr) wordt dit

Ek = (h/2πr)2 / 2m

Dit kun je ook schrijven als

Ek = [h2/8π2·m] · 1/r2

Het gedeelte tussen vierkantje haakjes is gelijk aan de constante k1 uit de opgave. In BINAS vinden we de de constante van Planck (h) en de elektronmassa m (tabel 7A) en we vinden

k1 = (6,6261·10-34)2 / (8·π2·9,1094·10-31)

k1 = 6,1043·10-39

Afgerond is dit inderdaad 6,10·10-39.

Vraag 57

  • Bij de minimale energie is de afgeleide van de totale energie (Et) als functie van de afstand (r) gelijk aan 0. Om te bepalen bij welke waarde van r dit is moeten we dus de afgeleide van Et bepalen. Uit de in de opgave gegeven formules volgt

    Et = Ek + Ep

    Et = k1·r -2 - k2·r -1

    (het minteken voor de term Ep komt omdat de potentiele energie juist moet toenemen bij groter wordende r). De afgeleide hiervan is

    dEt/dr = -2 k1·r -3 - -k2·r -2

    Wanneer we dit gelijkstellen aan 0 wordt dit

    -2 k1·r -3 - -k2·r -2 = 0

    Beide kanten met r2 vermenigvuldigen geeft

    -2 k1·r -1 - - k2 = 0

    -2 k1·r -1 = -k2

    r -1 = k2/ 2k1

    r = (k2 / 2k1)-1 = 2·k1 /k2

  • Invullen in bovenstaande formule van k1 = 6,10·10-39 en k2 = 2,31·10-28 geeft

    r = 2 · 6,10·10-39 / 2,31·10-28 = 5,2814·10-11 m

    Dit is afgerond gelijk aan de Bohrstraal (a0)

Vraag 58

Invullen van r = 5,2814·10-11 in de in deze opgave gegeven formule voor Et met de constante k1 en k2 geeft

Et = k1·r -2 - k2·r -1

Et = 6,10·10-39 · (5,2814·10-11)-2 - 2,31·10-28 · (5,2814·10-11)-1

Et = -2,1869·10-18 J

Omgerekend naar elektronvolt (zie BINAS tabel 5) is dit

-2,1869·10-18 / 1,6022·10-19 = -13,649 eV

Afgerond is dit gelijk aan de minimale energie van het waterstofatoom volgens Bohr (-13,6 eV).


waterstofatoomnina-1

Vraag over "Waterstofatoom"?


    Hou mijn naam verborgen

Eerder gestelde vragen | Waterstofatoom

Op maandag 26 mrt 2018 om 15:29 is de volgende vraag gesteld
Et = 6,10·10-39 · (5,2814·10-11)-2 - 2,31·10-28 · (5,2814·10-11)-1

Ik dacht dat Et= ek+ ep.
waarom wordt er dan -2,31 x 10^-28 genomen. Moet dit niet plus zijn?

Op maandag 26 mrt 2018 om 15:31 is de volgende reactie gegeven
Overigens snap ik bij vraag 55. Dat gedeelte van die dakjes niet. Ik zie niet in waarom de linker helft opeens groter wordt, het moet toch juist kleiner zijn?

Erik van Munster reageerde op maandag 26 mrt 2018 om 15:52
Zie de opmerking bij de uitwerking van vraag 57: "het minteken voor de term Ep komt omdat de potentiele energie juist moet toenemen bij groter wordende r". Datzelfde geldt ook hier, vandaar het minteken bij de berekening.

Het "dakje" is een griekse letter delta (Δ). Dit betekent de onzekerheid in r.

Bijvoorbeeld:
Stel dat je weet dat de afstand tussen de 4,0 - 8,0 nm ligt. Het gemiddelde is dan 6,0 nm en de onzekerheid (hoeveel r groter of kleiner kan zijn) is dan 2,0 nm. Je schrijft dan Δr = 2,0 nm.

Op maandag 26 mrt 2018 om 22:39 is de volgende reactie gegeven
Δp≤p en Δr ≤r. Hieruit volgt p≥Δp en r≥Δr. excuus ik bedoelde de (groter dan of gelijk aan "dakjes"). Ik zie niet hoe dat omgezet kan worden in dit Δp·Δr ≥ h / 2π

Erik van Munster reageerde op dinsdag 27 mrt 2018 om 10:29
Ik kom er eerlijk gezegd ook niet uit. In de opgave staat dat je mag uitgaan van Δp≤p en Δr≤r. Dit betekent dat het product van Δp en Δr ook kleiner is dan het product van p en r. Dus

Δp*Δr ≤ p*r

In de opgave staat dat p·r = h/2π. Als je dit invult in bovenstaande formule vind je

Δp*Δr ≤ h/2π

Hier staat kleiner dan en niet groter dan zoals in het correctievoorschrift. Ik snap eerlijk gezegd niet hoe ze hier dan aan komen. Voor de vraag over het onzekerheidsprincipe van Heisenberg maakt het niks uit want het is nog steeds groter van h/4π. Kennelijk ligt Δp*Δr tussen h/4π en h/2π in.


Op maandag 3 apr 2017 om 14:15 is de volgende vraag gesteld
Hallo,

Ik heb een aantal vragen over deze opgave.

a) ik heb geen idee hoe ik hier moet beginnen en ik begrijp ook het antwoord niet.

d) kunt u een toelichting geven waarom de uitspraken wel/niet juist zijn?

e) ik snap de uitwerking tot en met dat h/2pi > h/4pi maar ik begrijp niet hoe je dan gelijk kan stellen dat het dus niet in strijd is met de onbepaaldheidsrelatie van Heisenberg.

h) waarom wordt er in deze opdracht gewerkt met Et=Ek-Ep terwijl bij vraag f wordt aangegeven dat Et=Ek+Ep?
Hoe werk je het invullen van de formule van r in de formule van Et precies uit?

Erik van Munster reageerde op maandag 3 apr 2017 om 16:09
In de uitleg bij de vraag wordt uitgelegd dat Pstr de energie die per seconde verloren gaat is. Hieruit moet je op het idee komen dat de energie Et elke tijdstapje afneemt met deze hoeveelheid keer de grootte van het tijdstapje (dt).

Over vraag 54:
Mythe: Eigenlijk meer wiskunde. Een assymptoot betekent niet dat het oppervlak naar oneindig gaat. Kan best 1 zijn.
Jim: Heeft inderdaad gelijk (zie Myrthe)
John heeft gelijk want in het gebiedje tussenrondom a0 is het oppervlak onder de grafiek het grootsts.
Ingrid heeft gelijk omdat het oppervlak onder de grafiek tussen 0 en a0 ongeveer twee keer kleiner is dan tussen a0 en oneindig.
José: (Zie boven) Is dus niet zo.

Vraag 55: Eigenlijk letterlijk invullen van de gegevens in de vraag en vergelijken met Heisenberg.

Vraag 58: Komt omdat Ep negatief is. Hoe verder van de kern hoe groter (minder negatief) de potentiele energie is.