Logaritme

Opgave a

In de formule komen t en t_½ alleen in de combinatie t / t_½ voor (t gedeeld door t_½). Dit is onafhankelijk van de eenheid die we voor t en t_½ gebruiken. Stel bijvoorbeeld dat t = 5,0 uur en t_½ = 2,0 uur. Er geldt dan

t / t_½ = 5,0 uur / 2,0 uur = 2,5

Als we alles in seconden zouden uitrekenen zouden we op precies hetzelfde uitkomen: 5,0 uur is gelijk aan 5,0·60·60 = 18000 s en 2,0 uur is gelijk aan 2,0·60·60 = 7200 s. We komen dan op

t / t_½ = 18000 s / 7200 s = 2,5

De eenheid die we voor t en t_½ gebruiken maakt dus niks uit zolang we er maar voor zorgen dat we voor beiden dezelfde eenheid gebruiken.

Opgave b

De formule luidt

N(t) = N₀ · ½^{t / t_½}

Beide kanten door N₀ delen geeft

N(t) / N₀ = ½^{t / t_½}

Aan de rechterkant staat nu ½ tot de macht t / t_½. Om dit machtsverheffen weg te werken nemen we links en recht de logaritme met grondtal ½

^½log (N(t)/N₀) = t / t_½

Op je rekenmachine zit geen knop voor logaritme met grondtal ½ maar wel voor grondtal 10. Grondtallen van logaritmes kun je omzetten met ^alog u = ^blog u / ^blog a. We kunnen dus schrijven

¹⁰log (N(t)/N₀) / ¹⁰ log ½ = t / t_½

Hieruit volgt

t / t_½ = log (N(t)/N₀) / log ½

(log in bovenstaande formule is de normale logaritme met grondtal 10 zoals je die met je rekenmachine kunt uitrekenen)

Opgave c

We vullen in bovenstaande formule in:

N₀ = 8,7·10²²
N(t) = 1,8·10²²

We vinden dan

t / t_½ = log ( 1,8·10²²/ 8,7·10²²) / log ½ = log 0,206897 / log ½

t / t_½= -0,68425 / -0,30103 = 2,2730

Voor de halveringstijd geldt dan

t_½ = t / 2,2730 = 24 uur / 2,2730 = 10,558 uur

Afgerond is dit een halveringstijd van 11 uur. In BINAS tabel 25A vinden we bij de isotopen van lood dat dit afgerond hetzelfde is als de halveringstijd van ²¹²Pb is.

Opgave d

Als er nog maar 1,0% over is is N(t)/N₀ gelijk aan 0,01. Invullen in de formule geeft

t / t_½ = log 0,01 / log ½ = -2 / -0,30103 = 6,6439

Voor de tijd volgt

t = 6,6439 · t_½ = 6,6439 · 10,6 uur = 70,425 uur

Afgerond 70 uur.

Vraag over opgave "Logaritme"?

Typ hier je vraag

Stel je vraag     Hou mijn naam verborgen voor andere bezoekers